Intuition derrière la distribution de la loi de puissance

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Je sais que le pdf d'une loi de puissance est

p (x) = \frac{α - 1}{x_{min}} {(\frac{x}{x_{min}})}^{- α}

$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$

Mais qu'est-ce que cela signifie intuitivement si, par exemple, les cours des actions suivent une distribution de loi de puissance? Cela signifie-t-il que les pertes peuvent être très élevées mais peu fréquentes?

distributions power-law

— Thomas James
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Il s'agit d'une distribution à queue lourde, car le cdf est Ainsi, la probabilité de dépasser,peut être rendue arbitrairement proche depar le bon choix de. Par exemple, si l'on veut que la probabilité de dépassersoit d'au moins, on devrait choisirpour être au plus une courbe représentée ci-dessous, le premier axe étant mis à l'échelle par

F (x) = 1 - {(\frac{x}{x_{min}})}^{1 - α}

$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$

x

$x$

(x / x_{min})^{1 - α}

$(x/x_\min)^{1-\alpha}$

1

$1$

α

$\alpha$

10^{u} x_{min}

$10^u x_\min$

0.9

$0.9$

α

$\alpha$

1 - \log_{10} (0.9) / u

$1-\log_{10}(0.9)/u$

, pas de

u

$u$

...

10^{u} x_{min}

$10^u x_\min$ Rendu de la courbe R de la fonction ci-dessus

— Xi'an
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Ce n'est pas une source évaluée par les pairs, mais j'aime cette note du professeur de statistiques de la CMU, Cosma Shalizi . Il est également l'auteur de cet article , sur l'estimation de telles choses à partir de données.

— oui
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C'est pourquoi j'ai posé ma question. J'ai déjà lu cet article. Sans équations, qu'est-ce que cela signifie pour quelque chose de suivre une distribution de loi de puissance?

— Thomas James

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Bienvenue sur le site, Thomas! Vous pourriez envisager de modifier votre question pour donner une indication de ce qui a suscité votre intérêt au départ. Généralement, plus il y a d'informations, mieux c'est. Par exemple, affirmer que vous aviez lu la note du professeur Shalizi et cela vous a fait vous interroger sur X non seulement anticipe les réponses qui suggéreraient précisément cela, mais montre également plus clairement votre courant de pensée, ce qui tend à susciter de meilleures réponses. :) (Par exemple, avez-vous lu l'article de synthèse de M. Mitzenmacher dans Internet Mathematics ?)

— cardinal

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L'article Power Laws in Economics and Finance peut aider à acquérir de l'intuition sur les lois de puissance. Xavier Gabaix affirme que la loi de puissance (PL) est la forme prise par un grand nombre de régularités empiriques surprenantes en économie et en finance. Sa revue examine des PL empiriques bien documentés concernant le revenu et la richesse, la taille des villes et des entreprises, les rendements boursiers, le volume des échanges, le commerce international et la rémunération des dirigeants.

Intuition pour la distribution Pareto

Pareto (wikipedia) a initialement décrit la répartition de la richesse entre les individus: une grande partie de la richesse de toute société appartient à un petit pourcentage de personnes. Son idée exprimée plus simplement comme le principe de Pareto ou la «règle des 80-20» dit que 20% de la population contrôle 80% des richesses.

La queue droite des distributions de revenus et de richesses ressemble souvent à Pareto

Si la distribution des revenus est Pareto, alors on peut dériver des expressions simples pour la part des 1% ou 10% supérieurs. Ensuite, la part du qth percentile supérieur du revenu total peut être calculée comme suit:

{(\frac{q}{100})}^{\frac{α - 1}{α}},

$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$

où est le paramètre de forme. Cette expression implique qu'un inférieur correspond à une queue plus épaisse de la distribution de Pareto et donc à une plus grande part du revenu total capturée par les individus aux centiles supérieurs de la distribution. Par exemple, avec , la part du 1% supérieur est de 10% et avec , elle est de 4%. $\alpha \geq 1$ $\alpha$ $\alpha=2$ $\alpha=3$

— emeryville
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$X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$ $Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$ $X$ ont une distribution exponentielle sur l'échelle logarithmique.

$Y$ $X$

\begin{aligned} α - 1 = λ_{Y} (y) & = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{1}{ϵ} \cdot P (y ⩽ Y ⩽ y + ϵ | Y ⩾ y) \\ = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{1}{ϵ} \cdot P (\ln (x) ⩽ \ln (X) ⩽ \ln (x) + ϵ | X ⩾ x) \\ = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{P (x ⩽ X ⩽ x e^{ϵ} | X ⩾ x)}{ϵ} \\ = lim_{δ ↓ 1} \frac{P (x ⩽ X ⩽ δ x | X ⩾ x)}{\ln δ} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

We can see from this hazard characterisation that $\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$ for any small values of $\ln \delta$ . Notice that this probability does not depend on the conditioning value $x$ , which is the result of the constant-hazard property. Hence, for any conditioning values $x, x' > x_\min$ , and any small value $\ln \delta$ , we have:

P (x ⩽ X ⩽ δ x | X ⩾ x) \approx P (x^{'} ⩽ X ⩽ δ x^{'} | X ⩾ x^{'}) .

$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$

Hence, we see that the power-law can be characterised by the fact that this conditional probability is approximately the same regardless of the conditioning point. In the context of stock prices, if these follow a power-law then we can say that, the probability that the stock will "rise" by some proportion is not dependent on its present value $^\dagger$ .

$^\dagger$ We use "rise" loosely here, since we are talking about a single random variable, and we have not modelled a time-series of stock prices. Within out present context we refer to the probability of a "rise" in the stock price in the sense of a conditional probability that the price is within some interval above a lower bound, conditional on this lower bound.

— Reinstate Monica
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