Comment le minimum d'un ensemble de variables aléatoires est-il distribué?


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Si sont des variables aléatoires indépendantes distribuées de manière identique, que peut-on dire de la distribution de en général?X1,...,Xnmin(X1,...,Xn)

Réponses:


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Si la cdf de Xi est notée F(x) , alors la cdf du minimum est donnée par 1[1F(x)]n .


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Si le CDF de Xi est désigné par F(x) , le CDF du minimum est donné par 1[1F(x)]n .

Raisonnement: étant donné n variables aléatoires, la probabilité P(Yy)=P(min(X1Xn)y) implique qu'au moins un Xi est inférieur à y .

La probabilité qu’au moins un Xi soit inférieur à y équivaut à un moins la probabilité que tous les Xi soient supérieurs à y , c’est-à-dire P(Yy)=1P(X1>y,,Xn>y) .

Si les Xi sont indépendants de manière identique, la probabilité que tous les Xi soient supérieurs à y est de [1F(y)]n . Par conséquent, la probabilité initiale est P(Yy)=1[1F(y)]n .

Exemple : dites , puis intuitivement, la probabilité doit être égale à 1 (la valeur minimale étant toujours inférieure à 1 puisque pour tout ). Dans ce cas, , la probabilité est toujours égale à 1.XiUniform(0,1)min(X1Xn)10Xi1iF(1)=1


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chl

Merci d'avoir fourni le raisonnement. J'ai eu un problème avec les variables non identiquement distribuées, mais la logique minimale est toujours bien appliquée :)
Matchu

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Rob Hyndman a donné la réponse simple et exacte pour un n fixe. Si le comportement asymptotique pour le grand n vous intéresse, cela est traité dans le domaine de la théorie des valeurs extrêmes . Il existe une petite famille de distributions limitantes possibles; voir par exemple les premiers chapitres de ce livre .


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Mon opinion est que ce livre est LE livre sur la théorie des valeurs
extrêmes

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Je pense que la réponse 1- (1-F (x)) ^ n est correcte dans des cas particuliers. Les cas particuliers sont conditionnés par le fait que pmf de va est basé sur une formule pour le domaine de va S'il diffère dans diverses parties du domaine ci-dessus, la formule mentionnée s'écarte un peu des résultats de la simulation réelle.


@gung Je comprends pourquoi vous concluriez cela, mais cette réponse ne s'applique pas à la question posée par l'IID: elle apparaît donc comme un commentaire (correct et potentiellement intéressant) à la question elle-même.
whuber

@ Whuber, à vous de décider si vous voulez convertir cela en un commentaire, c'est votre appel.
gung - Rétablir Monica
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