La somme d'une variable aléatoire discrète et continue est-elle continue ou mixte?

Si est un discret et est une variable aléatoire continue, alors que pouvons-nous dire de la distribution de ? Est-ce continu ou mélangé? $X$ $Y$ $X+Y$

Qu'en est-il du produit ? $XY$

self-study distributions random-variable

— user666
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Réponses:

Supposons que $X$ prend des valeurs $k \in K$ avec une distribution discrète $(p_k)_{k \in K}$ , où $K$ est un ensemble dénombrable, et $Y$ prend des valeurs dans $\mathbb R$ avec la densité $f_Y$ et CDF $F_Y$ .

Laissez . On a $Z = X + Y$

P (Z \leq z) = P (X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} P (Y \leq z - X ∣ X = k) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (z - k) p_{k},

$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$ qui peut être différenciée pour obtenir une fonction de densité pour

donnée par

Z

$Z$

f_{Z} (z) = \sum_{k \in K} f_{Y} (z - k) p_{k} .

$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$

Soit maintenant et supposons que . Alors $R = X Y$ $p_0 = 0$

P (R \leq r) = P (X Y \leq r) = \sum_{k \in K} P (Y \leq r / X) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (r / k) p_{k},

$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$ qui peut encore être différenciée pour obtenir une fonction de densité.

Cependant si , alors , ce qui montre que dans ce cas a un atome à 0. $p_0 > 0$ $\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$ $XY$

— Joris Bierkens
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$X$ $p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$ $\mathcal{X}$ $X$

f_{X} (x) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) δ (x - x_{k})

$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$

$\delta$

$Y$ $Z := X+Y$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$ $f_X$ $f_Y$

f_{Z} (z) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) f_{Y} (z - x_{k})

$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$

— Rodrigo de Azevedo
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Pourquoi le downvote?

— Rodrigo de Azevedo

Ouais, je suis aussi curieux de savoir le downvote

— Yair Daon

X

$X$

Y

$Y$

@whuber, je suis d'accord avec (b). Cependant, il est dit qu'un RV discret "peut être considéré comme ...", donc je pense que cela ajoute une vue intéressante.

— Yair Daon

C'est pourquoi j'ai écrit que votre réponse est trompeuse. Parce que la question concerne la distinction entre les distributions discrètes et continues - et cette distinction est une question de définition mathématique, pas de «goût» - vos efforts pour confondre les deux sont probablement moins qu'utiles.

— whuber

$X$ $Y$

Edit: je suppose que "continu" signifie "avoir un pdf". Si continu est plutôt destiné à signifier sans atome, la preuve est similaire; remplacez simplement "Lebesgue null set" par "singleton set" dans ce qui suit.

$X$ $\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

$Z$ $P(Z\in E)=0$ $E$

$\square$

$X+Y$ $E$

P (X + Y \in E) = \sum_{k} P ({Y + x_{k} \in E} \cap {X = x_{k}}) \leq \sum_{k} P (Y + x_{k} \in E)

$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$

Y + x_{k} \in E

$Y+x_k\in E$

Y \in E - x_{k}

$Y\in E-x_k$

E - x_{k}

$E-x_k$

Y

$Y$

P (Y + x_{k} \in E) = 0

$P(Y+x_k\in E)=0$

X + Y

$X+Y$

$P(X=0)=0$ $P(X=0)=1$ $XY$ $P(XY=0)=1$ $XY$

— Mike Earnest
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