Pourquoi les erreurs standard sont-elles biaisées à la baisse lorsque l'on considère des instruments faibles

Je me demandais pourquoi les erreurs-types sont (sévèrement) biaisées à la baisse lorsque vous utilisez l'estimateur variable général (général) ou l'estimateur de la méthode généralisée des moments (gmm).

Voir les diapositives 8 et 9 de ces notes. Dans un cadre simplifié,

où mais est un instrument valide pour , la variance estimée pour est la variance estimée OLS divisée par le du premier -régression en étapes de sur . Tant que , la variance estimée IV sera toujours plus grande que la variance estimée OLS, donc les erreurs standard IV seront également toujours plus grandes. Si est un instrument faible mesuré par un faible , les erreurs standard IV seront beaucoup plus importantes que les erreurs standard OLS, toutes choses égales par ailleurs.$\text{Cov}(x,u) \ne 0$$z$$x$$\hat{\beta_{1}}$$R^2$$x$$z$$R^2 < 1$$z$$R^2$