Comment ajouter deux variables aléatoires dépendantes?

Je sais, je ne peux pas utiliser la convolution. J'ai deux variables aléatoires A et B et elles sont dépendantes. J'ai besoin de la fonction distributive de A + B

random-variable non-independent

— Mesko
source

Si A et B sont dépendants, alors la distribution conjointe de A et B est nécessaire pour arriver à la distribution de A + B.

— vinux

Je ne comprends pas votre question. Que savez-vous et pourquoi ne pouvez-vous pas utiliser la convolution?

— Xi'an

Je sais que la fonction distributive de A et B. f A et B sont deux variables aléatoires continues indépendantes, alors je peux trouver la distribution de Z = A + B en prenant la convolution de f (A) et g (B): h ( z) = (f ∗ g) (z) = ∫∞ − ∞f (A) g (z − B) dA Mais que puis-je faire quand ils ne sont pas indépendants? Je suis désolé, si c'est une question stupide.

— Mesko

Ce n'est pas une question stupide Mesko, mais ce que les gens soulignent, c'est qu'il a besoin de plus d'informations. La réponse dépend de la façon dont

ne parviennent pas à être indépendants. Une description complète de cela est donnée par la distribution conjointe de

, ce que demande vinux. Xi'an sonde un peu plus délicatement mais cherche vraiment le même genre d'information pour vous aider à progresser.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— whuber

Réponses:

Comme le souligne vinux, il faut la distribution conjointe de et , et il ne ressort pas clairement de la réponse d'OP Mesko "Je connais la fonction distributive de A et B" qu'il dit qu'il connaît la distribution conjointe de A et B: il peut disons bien qu'il connaît les distributions marginales de A et B. Cependant, en supposant que Mesko connaît la distribution conjointe, la réponse est donnée ci-dessous. $A$ $B$

$A$ $B$ $f_{A,B}(a,b)$

f_{A + B} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (a, z - a) d a = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (z - b, b) d b .

$f_{A+B}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(a,z-a) \mathrm da = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(z-b,b) \mathrm db.$

A

$A$

B

$B$

f_{A, B} (a, z - a) = f_{A} (a) f_{B} (z - a)

$f_{A,B}(a,z-a)=f_{A}(a)f_{B}(z-a)$ et nous obtenons la formule de convolution plus familière pour les variables aléatoires indépendantes. Un résultat similaire s'applique également aux variables aléatoires discrètes.

$A$ $B$ $F_{A+B}(z)$ of $A+B$ as the total probability mass in the region of the plane specified as $\{(a,b) \colon a+b \leq z\}$ and compute the probability density function, or the probability mass function, or whatever, from the distribution function. Indeed the above formula is obtained by writing $F_{A+B}(z)$ as a double integral of the joint density function over the specified region and then "differentiating under the integral sign.''

— Dilip Sarwate
source

This is related to my comment and answer on another question dealing with joint distributions a few days ago.

— Xi'an

Beforehand , I don't know if what i'm saying is correct but I got stuck on the same problem and I tried to solve it in this way:

express the joint distribution using the heaviside step function:

f_{A, B} (a, b) = (a + b) H (a, b) H (- a + 1, - b + 1)

$f_{A,B}(a,b)=(a+b) H(a,b) H(-a+1,-b+1)$ or equivalently

f_{A, B} (a, b) = (a + b) (H (a) - H (a - 1)) (H (b) - H (b - 1))

$f_{A,B}(a,b)=(a+b)(H(a)-H(a-1))(H(b)-H(b-1))$ Now you can perform the integral without caring about limits of integration.

This is the wolfram rapresentation of the joint : A

Computing the integral I have : B

Plotted : C

That's the function :

f (z) = {\begin{matrix} z^{2} f o r 0 \leq z \leq 1 \\ 1 - (z - 1)^{2} f o r 1 \leq z \leq 2 \\ 0 o t h e r w i s e \end{matrix}

$f(z)=\left\{\begin{matrix} z^2 \qquad \qquad \; \quad for \quad 0\leq z \leq1\\ 1-(z-1)^2 \quad for \quad 1\leq z \leq 2 \\ 0 \qquad \quad \; otherwise \end{matrix}\right.$ and it's normalized as you can easily check.

— R.Lac
source

The question did nt seem to be specific enough about the joint distribution to get an answer. How did you come up with one.?

— Michael R. Chernick

+1 for correctly solving the alleged counterexample in @cdlg's answer and showing that the calculations if carried out correctly do give the correct answer, and not the erroneous s results in cdlg's answer. I can't believe that that answer has received two upvotes.

— Dilip Sarwate