Estimateur non biaisé du paramètre poisson

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Le nombre d'accidents par jour est une variable aléatoire de Poisson avec le paramètre , sur 10 jours choisis au hasard, le nombre d'accidents a été observé comme 1,0,1,1,2,0,2,0,0,1, ce qui sera un estimateur sans biais de ? $\lambda$ $e^{\lambda}$

J'ai essayé de tenter de cette manière: Nous savons que , mais . Quel sera alors l'estimateur sans biais requis? $E(\bar{x})=\lambda=0.8$ $E(e^{\bar{x}})\neq\ e^{\lambda}$

self-study estimation poisson-distribution

— priyanka
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Si , alors , pour . C'est difficile à calculer $X\sim \text{Pois}(\lambda)$ $P(X = k) = \lambda^ke^{-\lambda}/k!$ $k\geq 0$

mais est beaucoup plus facile à calculer , où :

E [X^{n}] = \sum_{k \geq 0} k^{n} P (X = k),

$E[X^n] = \sum_{k\geq 0} k^n P(X = k)\text{,}$

E [X^{\underline{n}}]

$E[X^{\underline{n}}]$

X^{\underline{n}} = X (X - 1) \dots (X - n + 1)

$X^{\underline{n}} = X(X - 1)\cdots (X - n + 1)$

E [X^{\underline{n}}] = λ^{n} .

$E[X^\underline{n}]=\lambda^n\text{.}$ Vous pouvez le prouver par vous-même - c'est un exercice facile. Aussi, je vous laisse prouver par vous-même ce qui suit: Si

sont iid comme

, alors

, donc

X_{1}, \dots, X_{N}

$X_1,\cdots, X_N$

Pois (λ)

$\text{Pois}(\lambda)$

U = \sum_{i} X_{i} \sim Pois (N λ)

$U = \sum_i X_i\sim \text{Pois}(N\lambda)$

Soit

. Il s'ensuit que

E [U^{\underline{n}}] = (N λ)^{n} = N^{n} λ^{n} et E [U^{\underline{n}} / N^{n}] = λ^{n} .

$E[U^{\underline{n}}] = (N\lambda)^n = N^n \lambda^n\quad\text{and}\quad E[U^\underline{n}/N^n] = \lambda^n\text{.}$

Z_{n} = U^{\underline{n}} / N^{n}

$Z_n = U^{\underline{n}}/N^n$

sont fonction de vos mesures , , $Z_n$ $X_1$ $\dots$ $X_N$
, $E[Z_n] = \lambda^n$

Puisque , on peut en déduire $e^\lambda = \sum_{n\geq 0}\lambda^n /n!$

votre estimateur sans biais est donc, c'est-à-dire. Cependant, pour calculer, il faut évaluer une somme qui semble être infinie, mais notez que, doncpour. Il s'ensuit quepour

E [\sum_{n \geq 0} \frac{Z_{n}}{n!}] = \sum_{n \geq 0} \frac{λ^{n}}{n!} = e^{λ},

$E\left[\sum_{n\geq 0}\frac{Z_n}{n!}\right] =\sum_{n\geq 0} \frac{\lambda^n}{n!} = e^\lambda\text{,}$

W = \sum_{n \geq 0} Z_{n} / n!

$W = \sum_{n\geq 0} Z_n/n!$

E [W] = e^{λ}

$E[W] = e^\lambda$

W

$W$

U \in N_{0}

$U\in \mathbb{N}_0$

U^{\underline{n}} = 0

$U^\underline{n} = 0$

n > U

$n>U$

Z_{n} = 0

$Z_n = 0$

, donc la somme est finie.

n > U

$n>U$

Nous pouvons voir qu'en utilisant cette méthode, vous pouvez trouver l'estimateur sans biais pour toute fonction de qui peut être exprimée comme . $\lambda$ $f(\lambda) = \sum_{n\geq 0}a_n\lambda^n$

— Antoine
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Il s'ensuit que $Y=\sum_{i=1}^{10} X_i \sim \text{Pois}(10\lambda)$ $\theta=e^\lambda$

\hat{θ} = e^{\bar{X}} = e^{Oui / dix} .

$\begin{equation} \hat\theta = e^{\bar X} = e^{Y/10}. \end{equation}$

Y

$Y$

M_{Oui} (t) = e^{dix λ (e^{t} - 1)},

$\begin{equation} M_Y(t)=e^{10\lambda(e^t - 1)}, \end{equation}$

E (\hat{θ}) = E (e^{\frac{1}{dix} Oui}) = M_{Oui} (\frac{1}{dix}) = e^{dix λ (e^{1 / dix} - 1)} = θ^{dix (e^{1 / dix} - 1)},

$\begin{equation} E(\hat\theta) = E(e^{\frac1{10}Y}) = M_Y(\frac1{10}) = e^{10\lambda(e^{1/10} - 1)} = \theta^{10(e^{1/10}-1)}, \end{equation}$

\hat{θ}

$\hat\theta$

θ^{*} = e^{une Oui},

$\begin{equation} \theta^* = e^{aY}, \end{equation}$

a

$a$

Y

$Y$

E (θ^{*}) = e^{dix λ (e^{une} - 1)} = θ^{dix (e^{une} - 1)},

$\begin{equation} E(\theta^*) = e^{10\lambda(e^a - 1)} = \theta^{10(e^a-1)}, \end{equation}$

10 (e^{a} - 1) = 1

$10(e^a - 1) = 1$

a = \ln \frac{11}{10}

$a=\ln\frac{11}{10}$

θ^{*} = (\frac{11}{10})^{Y}

$\theta^* = (\frac{11}{10})^Y$

θ = e^{λ}

$\theta=e^\lambda$

$Y$ $\lambda$ $\theta^*$ $Y$ $e^\lambda$

— Jarle Tufto
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