La somme d'un grand nombre de variables aléatoires de Cauchy indépendantes est-elle normale?

Selon le théorème de limite centrale, la fonction de densité de probabilité de la somme d'une grande variable aléatoire indépendante tend vers une normale. Peut-on donc dire que la somme d'un grand nombre de variables aléatoires de Cauchy indépendantes est également normale?

random-variable central-limit-theorem cauchy

— urwaCFC
source

Quels sont les hypohtes de la version du théorème central limite que vous avez apprise?

— Brian Borchers

Non.

Vous manquez l'une des hypothèses centrales du théorème de la limite centrale:

... des variables aléatoires avec des variances finies ...

La distribution de Cauchy n'a pas de variance finie.

La distribution de Cauchy est un exemple de distribution qui n'a pas de moyenne, de variance ou de moments supérieurs définis.

En réalité

$X_1, \ldots, X_n$ $\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$

Donc, la situation dans votre question est assez claire, vous continuez à récupérer la même distribution de Cauchy.

C'est le concept d'une distribution stable non?

$a X_1 + b X_2$

(*) Citations de wikipedia.

— Matthew Drury
source

sensationnel. Je devrais aller rafraîchir mon concept CLT. Merci beaucoup pour la réponse.

— urwaCFC

Le cauchy est un très bon exemple dans cet espace. Il y a juste assez de masse dans les queues pour que la moyenne ne la ramène pas vers la moyenne, mais pas assez pour que les valeurs aberrantes entraînent une accumulation de masse dans les queues. Sa droite sur la frontière où le CLT échoue.

— Matthew Drury

t

$t$

E (| X |)

$E(|X|)$

E (X^{2})

$E(X^2)$

Ohhh, intéressant! Je suppose que j'ai vraiment survolé certaines nuances.

— Matthew Drury

n

$n$

\bar{X} - μ

$\bar{X}-\mu$