Cette question découle de celle posée ici à propos d'une fonction de génération de moments liés (MGF).
Supposons que X est une variable aléatoire bornée à moyenne nulle prenant des valeurs dans
[−σ,σ] et que G(t)=E[etX] soit son MGF. D'un lié utilisé dans une preuve de l' inégalité de Hoeffding , nous avons que
G(t)=E[etX]≤eσ2t2/2
où le côté droit est reconnaissable comme le MGF d'une variable aléatoire normale moyenne nulle avec l'écart-type
σ . Maintenant, l'écart-type de
X ne peut pas être supérieur à
σ , la valeur maximale se produisant lorsque
X est une variable aléatoire discrète telle que
P{X=σ}=P{X=−σ}=12 . Ainsi, la borne à laquelle on se réfère peut être considérée comme disant que le MGF d'une variable aléatoire bornée à moyenne nulle
Xest borné au-dessus par le MGF d'une variable aléatoire normale à moyenne nulle dont l'écart-type est égal à l'écart-type maximal possible que
Xpeut avoir.
Ma question est: est-ce un résultat bien connu d'intérêt indépendant qui est utilisé ailleurs que dans la preuve de l'inégalité de Hoeffding, et si oui, est-il également connu pour s'étendre à des variables aléatoires avec des moyens non nuls?
Le résultat qui pose cette question permet une plage asymétrique [a,b] pour X avec a<0<b mais insiste sur E[X]=0 . La borne est
G(t)≤et2(b−a)2/8=et2σ2max/2
où
σmax=(b−a)/2est l'écart type maximal possible pour une variable aléatoire avec des valeurs limitées à
[a,b], mais ce maximum n'est pas atteint par des variables aléatoires à moyenne nulle sauf si
b=−a.