Fonction de génération de moment lié

Cette question découle de celle posée ici à propos d'une fonction de génération de moments liés (MGF).

Supposons que $X$ est une variable aléatoire bornée à moyenne nulle prenant des valeurs dans $[-\sigma, \sigma]$ et que $G(t) = E[e^{tX}]$ soit son MGF. D'un lié utilisé dans une preuve de l' inégalité de Hoeffding , nous avons que

G (t) = E [e^{t X}] \leq e^{σ^{2} t^{2} / 2}

$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$ où le côté droit est reconnaissable comme le MGF d'une variable aléatoire normale moyenne nulle avec l'écart-type

σ

$\sigma$ . Maintenant, l'écart-type de

X

$X$ ne peut pas être supérieur à

σ

$\sigma$ , la valeur maximale se produisant lorsque

X

$X$ est une variable aléatoire discrète telle que

P {X = σ} = P {X = - σ} = \frac{1}{2}

$P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$ . Ainsi, la borne à laquelle on se réfère peut être considérée comme disant que le MGF d'une variable aléatoire bornée à moyenne nulle

X

$X$ est borné au-dessus par le MGF d'une variable aléatoire normale à moyenne nulle dont l'écart-type est égal à l'écart-type maximal possible que

X

$X$ peut avoir.

Ma question est: est-ce un résultat bien connu d'intérêt indépendant qui est utilisé ailleurs que dans la preuve de l'inégalité de Hoeffding, et si oui, est-il également connu pour s'étendre à des variables aléatoires avec des moyens non nuls?

Le résultat qui pose cette question permet une plage asymétrique $[a,b]$ pour $X$ avec $a < 0 < b$ mais insiste sur $E[X] = 0$ . La borne est

G (t) \leq e^{t^{2} (b - a)^{2} / 8} = e^{t^{2} σ_{m a x}^{2} / 2}

$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$ où

σ_{max} = (b - a) / 2

$\sigma_{\max} = (b-a)/2$ est l'écart type maximal possible pour une variable aléatoire avec des valeurs limitées à

[a, b]

$[a,b]$ , mais ce maximum n'est pas atteint par des variables aléatoires à moyenne nulle sauf si

b = - a

$b = -a$ .

probability probability-inequalities mgf

— Dilip Sarwate
source

Les variables aléatoires qui satisfont aux limites du mgf comme celle que vous citez sont appelées variables aléatoires sous- gaussiennes . Ils jouent un rôle central, par exemple, dans la théorie des matrices aléatoires non asymptotiques et certains résultats associés dans la détection compressée. Voir, par exemple, le lien dans la réponse ici . (Cela ne répond évidemment pas à votre question particulière, mais elle est de nature connexe.)

— Cardinal

Je ne peux pas répondre à la première partie de votre question, mais quant à son extension à des variables aléatoires avec des moyens non nuls ...

Tout d'abord, notez que tout rv avec une gamme finie et (nécessairement finie) moyenne peut être transformé en un rv qui est, bien sûr, une moyenne nulle avec la gamme (satisfaisant ainsi aux conditions de votre énoncé de problème). La variée transformée a mgf $Z$ $[a+\mu,b+\mu]$ $\mu$ $X = Z-\mu$ $[a,b]$ $\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$ (par les propriétés de base du mgf) La multiplication des deux côtés par et l'application de l'inégalité donne: $\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

Sans surprise, le mgf d'une variable aléatoire normale avec la même moyenne et l'écart-type égal à . $\sigma_\text{max}$

— jbowman
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