Relation entre poisson et distribution exponentielle

Le temps d’attente pour la distribution du poisson est une distribution exponentielle avec le paramètre lambda. Mais je ne le comprends pas. Poisson modélise le nombre d'arrivées par unité de temps par exemple. Comment est-ce lié à la distribution exponentielle? Disons que la probabilité de k arrivées dans une unité de temps est P (k) (modélisée par poisson) et que la probabilité de k + 1 est P (k + 1), comment la distribution exponentielle modélise-t-elle le temps d'attente entre elles?

J'utiliserai la notation suivante pour être aussi cohérent que possible avec le wiki (au cas où vous voudriez aller et venir entre ma réponse et les définitions du wiki pour le poisson et l' exponentielle .)

$N_t$ : le nombre d'arrivées pendant la période$t$

$X_t$ : le temps qu'il faut à une arrivée supplémentaire en supposant que quelqu'un est arrivé à l'heure$t$

Par définition, les conditions suivantes sont équivalentes:

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

L'événement sur la gauche capture l'événement que personne n'est arrivé dans l'intervalle de temps ce qui implique que notre décompte du nombre d'arrivées à l'instant est identique au décompte à l'instant qui est le événement à droite.$[t,t+x]$$t+x$$t$

Par la règle du complément, nous avons également:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

En utilisant l'équivalence des deux événements que nous avons décrits ci-dessus, nous pouvons réécrire ce qui suit comme suit:

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

Mais,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

En utilisant le poisson pmf ci-dessus où est le nombre moyen d'arrivées par unité de temps et une quantité d'unités de temps, on simplifie à:$\lambda$$x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

c'est à dire

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

En substituant dans notre équation d'origine, nous avons:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

Ce qui précède est le cdf d'un pdf exponentiel.

Pour un processus de Poisson, les occurrences sont aléatoires et indépendantes du passé, mais avec un taux moyen connu à long terme de occurrences par unité de temps. La distribution de Poisson nous laisserait trouver la probabilité d'obtenir un certain nombre de hits.$\lambda$

Maintenant, au lieu de regarder le nombre de hits, nous regardons la variable aléatoire (pour la durée de vie), le temps que vous devez attendre pour le premier hit.$L$

$P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$$\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$

Toute variable aléatoire ayant une fonction de densité comme celle-ci est dite distribuée de manière exponentielle.

Les autres réponses expliquent bien le calcul. Je pense que cela aide de considérer un exemple physique. Quand je pense à un processus de Poisson, je reviens toujours à l’idée que les voitures passent sur une route. Lambda est le nombre moyen de voitures qui passent par unité de temps, disons 60 / heure (lambda = 60). Nous savons cependant que le nombre réel variera - certains jours de plus, d'autres de moins. La distribution de Poisson nous permet de modéliser cette variabilité.

Maintenant, une moyenne de 60 voitures par heure équivaut à une moyenne de 1 voiture passant par minute. Encore une fois cependant, nous savons qu’il y aura une variabilité dans le temps entre les arrivées: parfois plus d’une minute; d'autres fois moins. La distribution exponentielle nous permet de modéliser cette variabilité.

Cela dit, les voitures qui passent sur une route ne suivront pas toujours un processus de Poisson. Par exemple, s'il y a un signal de circulation au coin de la rue, les arrivées seront groupées au lieu d'être constantes. Sur une autoroute dégagée, un tracteur semi-remorque lent peut retenir une longue file de voitures, ce qui provoque à nouveau le tassement. Dans ces cas, la distribution de Poisson peut toujours fonctionner correctement pour des périodes plus longues, mais l'exponentielle échouera mal dans la modélisation des temps d'arrivée.

Notez également qu’il existe une énorme variabilité en fonction de l’heure de la journée: plus occupé pendant les horaires de trajet; beaucoup plus lent à 3h du matin. Assurez-vous que votre lambda reflète la période de temps que vous envisagez.

La distribution de Poisson est normalement dérivée de la distribution binomiale (toutes deux discrètes). Vous le trouverez sur le wiki.

Cependant, la distribution de Poisson (discrète) peut également être dérivée de la distribution exponentielle (continue).

J'ai ajouté la preuve à Wiki (lien ci-dessous):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_ from_the_Exponential_Distribution