Distribution d'un polynôme du deuxième degré d'une variable aléatoire gaussienne

Je voudrais calculer

P (Y = a X^{2} + b X + c < 0)

$P(Y=aX^2+bX+c<0)$

où . Je peux le faire assez facilement en utilisant Monte Carlo. Cependant, on m'a demandé de trouver le pdf analytique de , puis de calculer $X \sim N(0,\sigma)$ $f_Y(y)$ $Y$

I = \int_{- \infty}^{0} f_{Y} (y) d y

$I=\int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy$

Je suppose que sera tel que ne peux être calculé que numériquement. Cependant, comme il s'agit d'une intégrale univariée, des méthodes numériques sont disponibles pour le calculer avec une très grande précision. Existe-t-il une expression (relativement simple) pour , afin que je puisse effectuer une intégration numérique? Ou existe-t-il une autre possibilité de calculer le , à part Monte Carlo (qui est à mon avis l'approche la plus sensée)? $f_Y(y)$ $I$ $f_Y(y)$ $I$

— DeltaIV
source

Avez - vous avez trouver le pdf de d' abord, puis l' intégrer sur la ligne réelle négative, ou peut utiliser la méthode indiquée par mpiktas ce qui évite de trouver le pdf de ?

Y

$Y$

Y

$Y$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, merci pour la question. Il m'a été spécifiquement demandé de 1. trouver et 2. intégrer sur . Donc, une réponse qui fait exactement cela serait formidable. D'un autre côté, je peux souligner que la demande est déraisonnable et que j'ai déjà deux très belles méthodes (MC et @mpiktas) qui fonctionnent bien. Ainsi, la réponse à votre question est: je ne suis pas obligé de le faire (je ne suis pas licencié si je ne le fais pas), mais j'apprécierais certainement de pouvoir le faire (évitant ainsi une nouvelle discussion avec le demandeur) .

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

[- \infty, 0]

$[-\infty,0]$

— DeltaIV

OK va ici. Notez que qui peut être exprimé en termes de CDF gaussien standard utilisant la méthode décrite dans la réponse de @ mpkitas. En prenant la dérivée wrt, donnera alors le pdf . Dites également à votre demandeur que vous n'avez pas réellement besoin d'intégrer_explicitement_ le pdf pour trouver puisque dont vous avez déjà déterminé la valeur.

F_{Y} (y) = P {Y \leq y} = P {a X^{2} + b X + c - y \leq 0}

$F_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{aX^2+bX+c-y \leq 0\}$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

I

$I$

I = F_{Y} (0)

$I = F_Y(0)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate fantastique! En d'autres termes, et dans la réponse de mpkitas deviennent des fonctions de , puis j'applique simplement la règle de chaîne pour la dérivation. Merci beaucoup!

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

y

$y$

— DeltaIV

Notez que , où et sont les racines de la polynomiale . Nous devons supposer que et sont réels et non égaux, sinon la probabilité en question est trivialement zéro ou un. $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ $x_1$ $x_2$ $ax^2+bx+c$ $x_1$ $x_2$

Nous avons deux cas.

$a>0$ , puis . $P(aX^2+bX+c<0) = P(x_1<X<x_2)$
$a<0$ , puis $P(aX^2+bX+c<0) = P(X<x_1 \cup X>x_2)=1- P(x_1<X<x_2).$

Puisque est normal, les probabilités peuvent être calculées en utilisant la fonction de distribution cumulative de la variable normale. $X$

— mpiktas
source

excellent! Et bien sûr, nous avons des expressions analytiques pour et (racines d'une équation quadratique), donc tout est très simple. Merci! PS bien sûr et sont toujours réels et distincts dans mon cas. J'ai oublié de le préciser.

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

— DeltaIV

Solution très intelligente. J'étais sur le point de suggérer de dériver la distribution de mais totalement inutile. Bien joué!

Y

$Y$

— ramhiser

@ JohnA.Ramey Voir les commentaires sur la question principale.

— Dilip Sarwate