Arithmétique pour la mise à jour des probabilités à l'aide du théorème de Bayes

Cela peut être une question élémentaire, c'est pourquoi je n'ai pas pu le trouver sur Stackexchange ou Mathoverflow, mais j'ai des problèmes avec l'arithmétique impliquée dans la mise à jour des probabilités en utilisant le théorème de Bayes pour un problème sur lequel je travaille.

Contexte:

J'essaie de donner des prévisions de probabilité d'événements futurs qui n'ont pas ou peu de précédents. Contrairement à la plupart de la littérature et des textes sur Bayes qui utilisent des distributions précédemment connues pour donner des probabilités d'événements futurs dans des paramètres similaires - ma situation est fondée sur l'opinion d'experts uniquement avec peu ou pas de distributions raisonnables à référencer.

Exemple:

GM a annoncé qu'ils développaient une nouvelle voiture mais n'a pas dit quand elle serait publiée. Le directeur de production de KIA doit savoir quand il sera prêt à la publier afin de pouvoir sortir sa nouvelle voiture à peu près en même temps.

KIA sait que la nouvelle voiture a besoin des composants suivants pour être prête pour la libération (1) moteur, (2) transmission, (3) carrosserie, (4) roues et suspension. Les ingénieurs expérimentés de KIA affirment que pour un nouveau projet comme celui-ci, ils sont convaincus à 90% qu'il peut être achevé en deux ans. KIA a également découvert que GM avait fait un test avec la nouvelle transmission dans un autre SUV et il fonctionnait comme prévu avec un taux de réussite de 95%. Les mêmes ingénieurs ont déclaré qu'étant donné ce test de transmission, une voiture peut être achevée dans ce délai 70% du temps.

D'après ce que je comprends, à ce stade, KIA peut commencer le calcul bayésien avec l'échantillon initial comme ci-dessous:

   A = GM will release the new car in two years
   B1 = GM will successfully test a new transmission
   P(A) = Prior Probability that GM will release the new car in two years
   P(B1) = Probability that GM will successfully test a new transmission
   P(B1|A) = Likelihood that given a successful transmission test, the car will be released within 2 years

Affectation de valeurs comme suit

   P(A) = .9
   P(B1) = .95
   P(B1|A) = .7

P (UNE | B_{1}) = \frac{P (UNE) P (B_{1} | UNE)}{P (UNE) P (B_{1} | UNE) + P (\bar{UNE}) P (B_{1} | \bar{UNE})}

$P(A|B_1) = \frac {P(A)P(B_1|A)}{P(A)P(B_1|A)+P(\bar{A})P(B_1|\bar{A})}$

.9545 = \frac{.9 * .7}{(.9 * .7) + (.1 * .3)}

$.9545 = \frac {.9*.7}{(.9*.7)+(.1*.3)}$

Peu de temps après que le département des statistiques de KIA a donné cette mise à jour, GM a annoncé qu'il avait testé son nouveau moteur et qu'il avait un taux de réussite de 98% sur tous ses tests. Les ingénieurs de KIA ont déclaré qu'en général, si un test de moteur réussit, il y a une probabilité de 80% qu'une voiture soit terminée à temps - mais qu'ils ne savaient pas quelle était la probabilité du temps de réalisation global à la fois et le moteur et un test de transmission était.

Les valeurs de notre deuxième élément de preuve, qui doivent être notées, sont maintenant indépendantes dans ce cas - mais ne sont pas dans tous les cas, par exemple, le corps doit continuer après la suspension:

   P(B2) = .98
   P(B2|A) = .8

Voici donc où j'ai du mal: intégrer arithmétiquement le P postérieur (A | B1) dans le calcul de P (A | B1, B2), étant donné que les a priori doivent rester constants. Comme je l'ai mentionné, certains événements au sein de { $B_1...B_n$ } sont indépendants, d'autres sont conditionnels.

J'ai vu l'entrée wikipedia qui décrit l'extension de trois événements:

P (UNE | B_{1}, B_{2}) = \frac{P (B_{2} | UNE, B_{1}) P (B_{1} | UNE) P (UNE)}{P (B_{2} | B_{1}) P (B_{1})}

$P(A|B_1,B_2) = \frac {P(B_2|A,B_1)P(B_1|A)P(A)}{P(B_2|B_1)P(B_1)}$

mais qu'en est-il des quatrième et cinquième extensions?

La plupart des livres et des ressources en ligne que je possède ne montrent pas les étapes de mise à jour des anciens de quelque manière que ce soit que je puisse discriminer. Il se peut que je sois trop éloigné de mes jours de premier cycle pour l'interpréter, mais ma crainte est que j'ai besoin d'avoir une expérience significative en théorie des ensembles et en mathématiques de niveau supérieur afin de faire ce qui semble être un simple calcul. Cet échange est le plus proche que j'ai pu trouver et même il ne le traverse pas. Le fait que je n'ai pas trouvé après une semaine de recherche un tutoriel de base sur la mécanique de mise à jourLe théorème de Bayes (ne vous dérange pas sur ce qu'est le théorème de Bayes et comment il fonctionne - il y en a plus qu'assez) au-delà de la première implémentation, me fait penser que ce n'est pas un calcul trivial. Existe-t-il un moyen simple de faire cette mise à jour sans mathématiques de niveau supérieur?

Remarque: Je suis conscient de l'ironie liée à la difficulté inhérente au "problème de mise à jour" du WRT Bayes, car Yudkowski en parle depuis un certain temps. Je supposais, peut-être à tort, que ceux qui y travaillaient faisaient référence à des itérations beaucoup plus complexes, mais je suis conscient que cela pourrait être le cas si je rencontre ce problème.

bayesian

— Andrew
source

Réponses:

Je vais commencer par répondre à votre question sur la mise à jour des événements avec les "quatrième et cinquième extensions". Comme vous le soupçonniez, l'arithmétique est en effet assez simple.

Rappelons d'abord comment le théorème de Bayes est dérivé de la définition de la probabilité conditionnelle: