D'une manière ou d'une autre, si vous preniez l'aire d'une distribution Gamma divergente, vous pourriez l'exprimer comme l'aire d'une distribution delta dirac, plus quelque chose de plus car elle a un poids non nul à , donc elle serait plus grande qu'une.x≠0
C'est là que votre raisonnement tourne mal: vous ne pouvez pas exprimer automatiquement une fonction infinie à tant que distribution delta plus quelque chose de plus. Après tout, si vous pouviez le faire avec , qui dirait que vous ne pourriez pas le faire aussi avec ? Oux=0δ(x)2δ(x)10−10δ(x)? Ou tout autre coefficient? Il est tout aussi valable de dire que ces distributions sont nulles pour et infinies à ; pourquoi ne pas utiliser le même raisonnement avec eux?x≠0x=0
En fait, les distributions (au sens mathématique de la théorie de la distribution) devraient être considérées plus comme des fonctions de fonctions - vous mettez une fonction et en sortez un nombre. Pour la distribution delta en particulier, si vous mettez la fonction , vous obtenez le nombre . Les distributions ne sont pas des fonctions normales de numéro à numéro. Ils sont plus compliqués et plus capables que ces fonctions "ordinaires".ff(0)
Cette idée de transformer une fonction en nombre est bien connue de tous ceux qui ont l'habitude de gérer les probabilités. Par exemple, la série de moments de distribution - moyenne, écart-type, asymétrie, kurtosis, etc. - peut être considérée comme des règles qui transforment une fonction (la distribution de probabilité) en nombre (le moment correspondant). Prenez la valeur moyenne / attente, par exemple. Cette règle transforme une distribution de probabilité en le nombre , calculé comme
Ou la règle de la variance devient dans le nombre , où
P(x)EP[x]
EP[x]=∫P(x)x dx
P(x)σ2Pσ2P[x]=∫P(x)(x−EP[x])2 dx
Ma notation est un peu bizarre ici, mais j'espère que vous avez l'idée.
1
Vous remarquerez peut-être quelque chose que ces règles ont en commun: dans chacune d'elles, la manière de passer de la fonction au nombre est d'intégrer la fonction multipliée par une autre fonction de pondération. Il s'agit d'une façon très courante de représenter des distributions mathématiques. Il est donc naturel de se demander s'il existe une fonction de pondération qui vous permet de représenter l'action d'une distribution delta comme celle-ci?
Vous pouvez facilement établir que s'il existe une telle fonction, elle doit être égale à à chaque . Mais vous ne pouvez pas obtenir de valeur pourδ(x)
f→∫δ(x)f(x) dx
0x≠0δ(0)de cette façon. Vous pouvez montrer qu'il est plus grand que n'importe quel nombre fini, mais il n'y a pas de valeur réelle pour qui fasse fonctionner cette équation, en utilisant les idées standard d'intégration.
2δ(0)
La raison en est que la distribution delta ne se limite pas à cela:
Ce " " est trompeur. Il représente un ensemble d'informations supplémentaires sur la distribution delta que les fonctions normales ne peuvent tout simplement pas représenter. Et c'est pourquoi vous ne pouvez pas dire de manière significative que la distribution gamma est "plus" que la distribution delta. Bien sûr, à tout , la valeur de la distribution gamma est supérieure à la valeur de la distribution delta, mais toutes les informations utiles sur la distribution delta sont verrouillées à ce point à , et ces informations sont trop riches et complexe pour vous permettre de dire qu'une distribution est plus que l'autre.
{0,∞,x≠0x=0
∞x>0x=0
Détails techniques
1 En fait, vous pouvez inverser les choses et considérer la distribution de probabilité elle-même comme la distribution mathématique. En ce sens, la distribution de probabilité est une règle qui prend une fonction de pondération, comme ou , à un nombre, ou respectivement. Si vous y pensez de cette façon, la notation standard a un peu plus de sens, mais je pense que l'idée globale est un peu moins naturelle pour un article sur les distributions mathématiques.x(x−E[x])2E[x]σ2x
2 Plus précisément, par des « idées standards d'intégration » que je prends à propos de l' intégration Riemann et l' intégration de Lebesgue , qui ont tous deux la propriété que deux fonctions qui ne diffèrent que sur un seul point doit avoir la même intégrale (étant donné les mêmes limites). S'il y avait une fonction , elle différerait de la fonction en un seul point, à savoir , et donc les intégrales des deux fonctions devraient toujours être les mêmes.
Il n'y a donc pas de numéro à attribuer qui lui fait reproduire l'effet de la distribution delta.δ(x)0x=0
∫baδ(x)f(x) dx=∫ba(0)f(x) dx=0
δ(0)