Variation statistique dans deux formats de qualification de Formule 1

Je viens de lire cet article de la BBC sur le format de qualification en Formule 1.

Les organisateurs souhaitent rendre les qualifications moins prévisibles, c'est-à-dire augmenter la variation statistique du résultat. En glissant sur quelques détails non pertinents, les pilotes sont actuellement classés par leur meilleur tour unique (pour plus de concret) de deux tentatives.

Un chef de F1, Jean Todt, a proposé que le classement des pilotes par la moyenne de deux tours augmenterait la variation statistique, car les pilotes pourraient être deux fois plus susceptibles de faire une erreur. D'autres sources ont fait valoir que toute moyenne diminuerait sûrement la variation statistique.

Pouvons-nous dire qui a raison selon des hypothèses raisonnables? Je suppose que cela se résume à la variance relative de par rapport à , où et sont des variables aléatoires représentant les deux temps au tour d'un conducteur?min ( x , y ) x $\text{mean}(x,y)$$\text{min}(x,y)$$x$$y$

Je pense que cela dépend de la répartition des temps au tour.

Soit indépendants, distribués de façon identique.$X,Y$

1. Si , alors Var(X+$P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}$$Var(\frac{X+Y}{2}) = \frac{1}{8} < Var( \min(X,Y)) = \frac{3}{16}.$
2. Si, cependant, , alors V a r ( X + $P(X=0) = 0.9, P(X=100)=0.1$$Var(\frac{X+Y}{2}) = 450 > Var( \min(X,Y)) = 99.$

Cela est conforme à l'argument mentionné dans la question concernant l'erreur (c.-à-d. Courir un temps exceptionnellement long avec une faible probabilité). Il faudrait donc connaître la répartition des temps au tour pour décider.

Sans perte de généralité, supposons et que les deux variables sont tirées de la même distribution avec une moyenne et une variance particulières.$y \leq x$

{ x $\{y,x\}$ améliore par,$\{x\}$

cas 1, signifie: ,$\frac{y-x}{2}$

cas 2, min: .$y-x$

Par conséquent, la moyenne a la moitié de l'effet sur l'amélioration (qui est entraînée par la variance) que la prise du minimum (pour 2 essais). Autrement dit, la moyenne atténue la variabilité.

Voici ma preuve de Var [Mean]

Pour 2 variables aléatoires x, y, il existe une relation entre leur moyenne et max et min.

$$2\,Mean(x,y) = Min(x,y) + Max(x,y)$$ Par conséquent Si nous supposons maintenant que la distribution est symétrique autour de la moyenne, alors Alors et Par conséquent Il est également facile de voir à partir de cette dérivation que, pour inverser cette inégalité, vous avez besoin d'une distribution avec une troncature très nette de la distribution du côté négatif de la moyenne. Par exemple, pour la distribution exponentielle, la moyenne a une variance plus grande que le min.V a r [ M i n ( x , y ) ] = V a r [ M a x ( x , y ) ] $$4\,Var[Mean] = Var[Min]+Var[Max]+2\,Cov[Min,Max]$$ $$Var[Min(x,y)]=Var[Max(x,y)]$$ C o v [ M i n , M a x ] < = s q r t ( V a r [ M i n ] V a r [ M a x ] ) = V a r [ M i n ] V a r $$4\,Var[Mean] = 2\,Var[Min] + 2\,Cov[Min,Max]$$ $$Cov[Min,Max]<=sqrt(Var[Min]Var[Max])=Var[Min]$$ $$Var[Mean]<=Var[Min]$$

Jolie question, merci! Je suis d'accord avec @sandris que la distribution des temps au tour est importante, mais je voudrais souligner que les aspects causals de la question doivent être abordés. Je suppose que la F1 veut éviter une situation ennuyeuse où la même équipe ou le même pilote domine le sport année après année, et qu'ils espèrent surtout introduire l'excitation (génératrice de revenus!) D'une réelle possibilité que de nouveaux pilotes «chauds» puissent surgissent soudainement dans le sport.

Autrement dit, je suppose qu'il y a un certain espoir de perturber le classement excessivement stable des équipes / pilotes. (Considérez l'analogie avec l' augmentation de la température dans le recuit simulé .) La question devient alors, quels sont les facteurs de causalité au travail, et comment sont-ils répartis dans la population des pilotes / équipes afin de créer un avantage persistant pour les titulaires actuels. (Considérez la question analogue de lever des droits de succession élevés pour «uniformiser les règles du jeu» dans la société en général.)

Supposons que les équipes en place maintiennent leur mandat par une stratégie conservatrice fortement dépendante de l'expérience du conducteur, qui met l'accent sur une faible variance des temps au tour au détriment du temps au tour moyen. Supposons qu'en revanche les équipes montantes avec (disons) des pilotes plus jeunes, adoptent nécessairement une stratégie plus agressive (à haut risque) avec une plus grande variance, mais que cela implique une conduite spectaculaire qui parfois `` frappe juste à droite '' et atteint un superbe temps au tour. Abstraction faite des problèmes de sécurité, la F1 aimerait clairement voir de tels «outsiders» en course. Dans ce scénario causal, il semblerait qu'une politique du meilleur des n-tours (grand ) aiderait à donner un coup de fouet aux nouveaux arrivants - en supposant que les conducteurs expérimentés sont `` déterminés à leur manière '', et ne pourraient donc pas ''$n$

Supposons, d'autre part, que la panne moteur soit un événement incontrôlable avec la même probabilité dans toutes les équipes, et que les classements actuels reflètent correctement une véritable gradation de la qualité pilote / équipe à travers de nombreux autres facteurs. Dans ce cas, la malchance d'une panne de moteur promet d'être le seul `` facteur de nivellement '' que la F1 pourrait exploiter pour atteindre une plus grande égalité des chances - au moins sans manipulations de classement lourdes qui détruisent l'apparence de la `` concurrence ''. Dans ce cas, une politique qui pénalise fortement les pannes moteur (qui sont le seul facteur de ce scénario à ne pas fonctionner relativement en faveur des opérateurs historiques) promet de favoriser l'instabilité des classements. Dans ce cas, la politique best-of-n mentionnée ci-dessus serait exactement la mauvaise politique à suivre.

Je suis généralement d'accord avec les autres réponses selon lesquelles la moyenne de deux séries aura une variance plus faible, mais je crois qu'elles omettent des aspects importants sous-jacents au problème. Beaucoup a à voir avec la façon dont les pilotes réagissent aux règles et à leurs stratégies de qualification.

Par exemple, avec un seul tour pour se qualifier, les pilotes seraient plus conservateurs, et donc plus prévisibles et plus ennuyeux à regarder. L'idée avec deux tours est de permettre aux pilotes de prendre des chances sur un pour essayer d'obtenir ce "tour parfait", avec un autre disponible pour une course conservatrice. Plus de descentes prendraient beaucoup de temps, ce qui pourrait également être ennuyeux. La configuration actuelle pourrait bien être le "point idéal" pour obtenir le plus d'action dans les plus brefs délais.

Notez également qu'avec une approche de moyenne, le conducteur doit trouver le temps de tour répétable le plus rapide. Avec l'approche min, le conducteur doit conduire aussi vite que possible pour un seul tour, poussant probablement plus loin qu'il ne le ferait avec l'approche moyenne.

Cette discussion est plus proche de la théorie des jeux. Votre question pourrait obtenir de meilleures réponses lorsqu'elle est formulée dans cette optique. Ensuite, on pourrait proposer d'autres techniques, comme l'option pour un pilote d'abandonner le premier temps au tour au profit d'une deuxième manche, et éventuellement un temps plus rapide ou plus lent. Etc.

A noter également qu'un changement de qualification a été tenté cette année qui a généralement poussé les pilotes dans un tour conservateur. https://en.wikipedia.org/wiki/2016_Formula_One_season#Qualifying Le résultat a été considéré comme un désastre et rapidement annulé.