Y aura-t-il jamais un Tribble malheureux à Oz?

Voici un problème amusant apporté par un étudiant. Bien qu'il ait été formulé à l'origine en termes de balles annihilantes mutuellement tirées à intervalles réguliers par un pistolet, j'ai pensé que vous pourriez profiter d'une présentation plus paisible.

Dans le monde plat infini d'Oz, la route de la brique jaune commence au centre de la ville d'émeraude, se déroule à travers la campagne et se poursuit pour toujours sans se traverser. À midi tous les jours, un jeune vigoureux hermaphrodite Tribble se met à rouler le long de cette route depuis son origine à une vitesse choisie au hasard de manière uniforme jusqu'à un kilomètre par jour. Tout au long de son voyage, il continuera à rouler à la même vitesse, sans jamais s'arrêter. Mais si jamais un Tribble en dépasse un autre sur la route, chacun reconnaît instantanément son âme sœur et les deux tombent sur le côté (probablement pour se reproduire et éventuellement fournir plus de Tribbles chez eux).

Comme vous le savez, de tels accouplements se produisent souvent, car la probabilité que deux Tribbles roulent exactement à la même vitesse est nulle. Oh joyeux Tribbles! Mais la vie est-elle garantie d'être bonne pour tous?

Quelle est la chance qu'au moins un Tribble continue pour toujours, sans jamais dépasser ou être dépassé?

Edit: Je semble avoir mélangé l'idée de probabilité positive et de probabilité 1. La déclaration prouvée ici est beaucoup plus faible que je l'espérais.

Intuitivement, la réponse est 0. Il n'est pas difficile de prouver que

Tout Tribble donné, avec une probabilité positive, obtient finalement un compagnon.

Mais je pense que cela pourrait ne pas être suffisant pour impliquer qu'avec une probabilité positive, chaque tribu finit par avoir un compagnon, selon le paradoxe de Zeno.

Voici une preuve de la déclaration citée. Tout d'abord, remplaçons le problème par une formulation alternative plus simple comme suit. Il y a une pile qui commence vide. Un ordinateur dessine des variables aléatoires en séquence indépendamment et uniformément de [0, 1]. Chaque fois qu'une valeur est dessinée, la pile change.

• Si la pile est vide ou que l'élément supérieur de la pile a une valeur supérieure, un nouvel élément est ajouté avec la nouvelle valeur. (Une balle plus lente que la dernière balle ou un Tribble plus lent que le dernier Tribble a été créée.)
• Sinon, l'élément supérieur est supprimé. (Les balles ou les Tribbles entrent en collision.)

(Cette formulation n'inclut pas l'événement d'une balle ou d'un Tribble plus rapide que le précédent créé mais détruit avant qu'il n'atteigne le précédent, mais un tel événement laisse la pile identique, donc cela n'a aucune conséquence.)

Je veux prouver qu'un élément donné, avec une probabilité positive, est finalement retiré de la pile. On peut supposer sans perte de généralité que la valeur n'est jamais tirée, car la probabilité que cela se produise est de 0. Soit un élément existant et sa valeur. Soit le nombre d'éléments au-dessus de , et leurs valeurs dans l'ordre, étant la valeur de l'élément supérieur actuel. Si les valeurs suivantes à dessiner atterrissent respectivement dans l'intervalle , l'intervalle , et ainsi de suite jusqu'à , alorsI 0 v 0 k I 0 v 1$1$$I_0$$v_0$$k$$I_0$v k k + 1 ( v k , 1 ) ( v k - 1 , 1 ) ( v 0 , 1 ) I 0 ( 1 - v k ) ( 1 - v k - 1 ) ⋯ ( 1 - v 0$v_1,\; v_2,\; …,\; v_k$$v_k$$k + 1$$(v_k, 1)$$(v_{k-1}, 1)$$(v_0, 1)$$I_0$ et tous les éléments ci-dessus seront supprimés. La probabilité de cet événement est , qui est un produit fini de nombres positifs, donc c'est positif.$(1 - v_k)(1 - v_{k-1})\cdots(1 - v_0)$