Puis-je prendre une décision en utilisant un facteur Bayes?

Les facteurs bayésiens indiquent dans quelle mesure un certain modèle est pris en charge. Supposons que j'exécute une expérience contrôlée et que j'ai deux modèles: le modèle nul et le modèle alternatif.

Si j'ai un facteur Bayes élevé, puis-je affirmer que le traitement est efficace et proposer de faire le changement?

hypothesis-testing bayes bayes-factors

— amibe
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Pourriez-vous entrer dans plus de détails? Quel est exactement votre scénario de prise de décision? Quels sont vos deux modèles? Qu'est-ce qui n'est pas clair à propos de l'utilisation des facteurs Bayes pour vous?

— Tim

La décision de fabriquer ou non un nouveau médicament est le scénario de décision. Nous voulons déterminer si ce médicament était réellement efficace.

Remarque: les facteurs de Bayes peuvent être extrêmement sensibles aux détails des priors non informatifs (et indéfinis pour ceux qui ne sont pas appropriés). Cependant, le scénario esquissé de dépistage des drogues invite également à un problème d'inférence plus simple défini dans un modèle unique qui a un paramètre représentant l'effet du traitement médicamenteux. De cette façon, vous obtiendrez un intervalle crédible pour la taille de l'effet en bonus.

— conjugateprior

Je ne comprends pas pourquoi quelqu'un a voté en faveur de la fermeture de cette question, car elle n'est pas claire. Je pense que c'est parfaitement clair et la réponse est essentiellement oui, mais bien sûr avec quelques mises en garde comme par exemple souligné par @conjugateprior (+1). Cependant, la première phrase de votre question ("Les facteurs Bayes indiquent à quel point un certain modèle est pris en charge") est fausse: les facteurs Bayes permettent de comparer deux modèles.

— amibe

Non, il n'y a pas «d'estimateurs bayésiens» ni même, à proprement parler, «d'estimation bayésienne» (bien qu'il existe des estimateurs pouvant avoir une motivation bayésienne). Il y a, d'autre part, l'inférence bayésienne. Mais ce que vous obtenez de cela n'est pas un estimateur, ni même une estimation, mais une distribution conjointe pour toutes les quantités inconnues qui sont mentionnées dans un modèle (aka le postérieur) conditionné par les données.

— conjugateprior

C'est une excellente et profonde question.

Alors que les manuels traditionnels (comme le mien ) ont tendance à promouvoir les facteurs bayésiens comme équivalents aux probabilités postérieures des hypothèses nulles et alternatives ou de deux modèles en comparaison, ce qui est formellement correct comme détaillé dans l'extrait suivant de mon choix bayésien , j'ai maintenant tendance à penser que le facteur Bayes en soi ne devrait pas être utilisé pour la prise de décision, mais plutôt comme une mesure de la preuve relative d'un modèle par rapport à l'autre. Par exemple, en utilisant $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)=1$ car la ligne de démarcation entre nul et alternatif (ou entre le modèle a et le modèle b) ne me semble pas un choix naturel. De plus, je ne pense pas que la défaite 0-1 préconisée par Neyman et Pearson et adoptée par la suite par presque tout le monde ait beaucoup de sens et apporte un quelconque soutien à l'interprétation décisionnelle du facteur Bayes.

Ma perspective actuelle sur le facteur Bayes est plus dans un mode prédictif antérieur ou postérieur où le comportement de $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)$ est évalué dans les deux modèles afin de calibrer la valeur observée $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)$ contre les distributions antérieures ou postérieures de $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)$ . Cela nous éloigne du point de vue décisionnel.

[Tiré de The Bayesian Choice , 2007, section 5.2.2, page 227]

D'un point de vue théorique, le facteur de Bayes n'est qu'une transformation biunivoque de la probabilité postérieure, mais cette notion s'est avérée être prise en compte sur son propre terrain dans les tests bayésiens.

Le facteur de Bayes est le rapport des probabilités postérieures du nul et de l'hypothèse alternative sur le rapport des probabilités antérieures du nul et de l'hypothèse alternative, c'est-à-dire,
$B_{01}^{π} (X) = \frac{P (θ \in Θ_{0} ∣ X)}{P (θ \in Θ_{1} ∣ X)} / \frac{π (θ \in Θ_{0})}{π (θ \in Θ_{1})} .$ $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x) = {\mathbb{P}(\theta \in \Theta_ 0\mid x) \over \mathbb{P}(\theta \in \Theta_1\mid x)} \bigg/ {\pi(\theta \in \Theta_ 0) \over \pi(\theta \in \Theta_ 1)}.$
Ce ratio évalue la modification des cotes de $\Theta_0$ contre $\Theta_1$ en raison des observations et peut naturellement être comparé à $1$ , bien qu'une échelle de comparaison exacte ne puisse être basée que sur une fonction de perte.

Du point de vue de la théorie de la décision bayésienne, le facteur Bayes est complètement équivalent à la probabilité postérieure de l'hypothèse nulle $H_0$ est accepté lorsque
$B_{01}^{π} (X) \geq \frac{{une}_{1}}{{une}_{0}} / \frac{ρ_{0}}{ρ_{1}} = \frac{{une}_{1} ρ_{1}}{{une}_{0} ρ_{0}},$ $B^\pi_{01} (x) \ge {a_1\over a_0} \big/ {\rho_0 \over \rho_1} = {a_1\rho_1 \over a_0\rho_0},$ où $\begin{aligned} ρ_{0} & = π (θ \in Θ_{0}) et \\ ρ_{1} & = π (θ \in Θ_{1}) \\ = 1 - ρ_{0} . \end{aligned}$ $\begin{align*} \rho_0 &= \pi(\theta\in\Theta_0) \quad \hbox{ and } \nonumber\\ \rho_1 &= \pi(\theta\in\Theta_1)\\ &=1-\rho_0. \end{align*}$

et où $a_0$ et $a_1$ sont les sanctions pour avoir mal choisi les hypothèses alternatives et nulles ou les modèles $\mathfrak{M}_0$ et $\mathfrak{M}_1$ . respectivement, dans la formulation de Neyman-Pearson:

L (θ, φ) = {\begin{cases} 0 & si φ = {je}_{Θ_{0}} (θ), \\ {une}_{0} & si θ \in Θ_{0} et φ = 0, \\ {une}_{1} & si θ \notin Θ_{0} et φ = 1, \end{cases}

$\mathfrak{L}(\theta, \varphi) = \begin{cases} 0 &\text{if $\varphi=\mathbb{I}_{\Theta_0}(\theta)$,} \cr a_0 &\text{if $\theta\in\Theta_0$ and $\varphi=0$,} \cr a_1 &\text{if $\theta\not\in\Theta_0$ and $\varphi=1$,}\cr\end{cases}$

— Xi'an
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(+1) Vous devriez peut-être ajouter cela

a_{0}

$a_0$ et

a_{1}

$a_1$ sont les pénalités associées aux erreurs lorsque le null est vrai ou faux.

— peuhp

Réponse étonnante Xi'an. Merci pour la réponse, je l'apprécie vraiment.

+1. J'ai formaté la citation de votre manuel comme une citation - excuses si vous ne vouliez pas l'avoir comme ça pour une raison quelconque (n'hésitez pas à revenir sur ma modification). J'ai également supprimé les mots "Panayiota Touloupou" qui, d'une manière ou d'une autre, sont entrés dans la définition lors de la dernière révision.

— amibe