Comment simuler à partir d'un mélange géométrique?

Si sont des densités connues à partir desquelles je peux simuler, c'est-à-dire pour lesquelles un algorithme est disponible. et si le produit est intégrable, existe-t-il une approche générique pour simuler à partir de cette densité de produit en utilisant le simulateurs des ? $f_1,\ldots,f_k$

\prod_{i = 1}^{k} f_{i} (x)^{α_{i}} α_{1}, \dots, α_{k} > 0

$\prod_{i=1}^k f_i(x)^{\alpha_i}\qquad \alpha_1,\ldots,\alpha_k>0$

f_{i}

$f_i$

— Xi'an
source

Sans hypothèses supplémentaires, cela semble peu probable. (Soit pour plus de simplicité. Soit petit. Supposons que associé à chaque soit un intervalle sur lequel et , en dehors duquel

pour

. Ensuite, les générateurs séparés produiraient presque toujours des valeurs dans

, mais la probabilité de

pourrait être concentrée n'importe où, sans lien apparent avec le

.) Alors, que pouvez-vous nous dire d'autre sur le

α_{i} = 1

$\alpha_i=1$

ϵ > 0

$\epsilon\gt 0$

f_{i}

$f_i$

I_{i}

$I_i$

f_{i} \leq 1

$f_i\le 1$

\underset{i}{Pr} (I_{i}) > 1 - ϵ

$\Pr_i(I_i)\gt 1-\epsilon$

0 < f_{i} < ϵ

$0\lt f_i\lt \epsilon$

I_{i} \cap I_{j} = \emptyset

$I_i\cap I_j=\emptyset$

i \neq j

$i\ne j$

I_{i}

$I_i$

\prod f_{i}

$\prod f_i$

I_{i}

$I_i$

f_{i}

$f_i$ ?

— whuber

(+10) Correct! L'utilisation d'un

plus petit

α_{i}

$\alpha_i$ conduirait cependant à aplatir tous les éléments et donc favoriserait le chevauchement de leurs supports effectifs ...

— Xi'an

Comme l'a dit whuber, l'étanchéité sera un problème, donc je prendrais une transformation (OU échantillonnage préférentiel) pour annuler l'étanchéité avant de générer des échantillons aléatoires. Il y a une approche constructive que je pense avoir lue il y a quelque temps. Sec 10.7 de link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-0209-7_10 Je ne sais pas si la discrétisation peut également être appliquée ici.

— Henry.L

Eh bien, bien sûr, il y a l'algorithme d'acceptation-rejet, que je mettrais en œuvre pour votre exemple comme:

(Initialisation) Pour chaque $i$ , trouvez $A_i = \sup_x \{\Pi_{j=1}^k f_j(x)^{\alpha_j}/f_i(x)\}$ . Modifier reflétant le commentaire de Xi'an ci-dessous: Sélectionnez la distribution $f_i$ qui correspond au plus petit $A_i$ .
Générez $x$ partir de $f_i$ .
Calculez $\alpha = \Pi_{i=j}^k f_j(x)^{\alpha_j} / (A_if_i(x))$ .
Générez $u \sim U(0,1)$ .
Si , retourne , sinon passez à 2. $u \leq \alpha$ $x$

En fonction des distributions, bien sûr, vous pourriez avoir un taux d'acceptation très faible. En l'occurrence, le nombre d'itérations attendu est égal au sélectionné (en supposant des distributions continues), donc au moins vous êtes averti à l'avance. $A_i$

— jbowman
source

(+1) En effet une solution! En supposant que les bornes existent pour tous les . Ou même certains « s. La comparaison des [en supposant qu'ils sont finis] peut également aider à sélectionner le le plus efficace .

A_{i}

$A_i$

i

$i$

i

$i$

A_{i}

$A_i$

f_{i}

$f_i$

— Xi'an

Je n'y avais pas pensé, mais bien sûr, vous avez raison, les eux-mêmes sont très informatifs, car ils sont également égaux au nombre prévu d'itérations nécessaires pour générer réellement le nombre aléatoire si vous vous en tenez à un tout au long. Vous voudrez donc choisir la distribution avec le plus petit à utiliser tout le temps. Je vais modifier la réponse pour que votre point ne se perde pas dans les commentaires.

A_{i}

$A_i$

i

$i$

A_{i}

$A_i$

— jbowman

Autrement dit, en supposant que tous les sont correctement normalisés [pour s'intégrer à un], ce qui n'est pas nécessairement une occurrence standard.

f_{i}

$f_i$

— Xi'an