Distribution de type normal sur une zone délimitée

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Existe-t-il une distribution qui ressemble à la distribution gaussienne (normale), mais telle que sa densité de probabilité n'est pas nulle uniquement sur un segment défini.

La question est apparue lorsque j'ai essayé de modéliser la «propagation des balles» dans un cercle. La distribution gaussienne fonctionne bien, mais il y a toujours une chance que la balle frappe à l'extérieur du cercle. Je voudrais donc trouver une distribution très similaire à la gaussienne, mais avec la propriété que la probabilité en dehors du segment (ou cercle) défini est nulle.

EDIT: Oui, en fait je veux dire un disque, pas un cercle. EDIT: Et oui, je n'ai besoin que d'une distribution unidimensionnelle (le long du rayon d'un disque) qui sera circulaire-symétrique (ne dépend pas de l'angle).

distributions normal-distribution modeling

— mbaitoff
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Voici une question étroitement liée (bien que, peut-être, avec des réponses moins que satisfaisantes): math.stackexchange.com/questions/62003/…

— cardinal

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Il semble que vous soyez intéressé par les distributions sur un disque (par opposition à un cercle), bien qu'il ne soit pas clair pourquoi dans votre modèle une balle tirée ne pourrait pas tomber à l'extérieur du disque.

— Cardinal

Cela pourrait être un modèle pour ce à quoi ressemble la distribution des balles qui tombent sur le disque.

— Dason

Dans mon modèle, le disque représente la "zone de frappe" qui se rétrécit si plus de temps a été consacré à la "visée". Il serait très frustrant pour un joueur de jeux vidéo, par exemple, de voir son tir tomber en dehors du disque lorsqu'il passait plus de temps à "viser".

— mbaitoff

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Je voulais juste identifier plus précisément votre intérêt exact. Plusieurs fois, il est beaucoup plus facile d'échantillonner à partir d'une distribution que de travailler avec elle de manière analytique. Par exemple, dans le cas normal tronqué, il existe un moyen simple d'échantillonner (c'est-à-dire un échantillonnage de rejet) qui ne nécessite aucune connaissance ni utilisation de la constante de normalisation. (Cependant, de meilleurs régimes peuvent exister selon le cas spécifique en question.)

— Cardinal

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Vous pouvez utiliser une distribution normale tronquée. C'est juste une distribution normale pour laquelle vous ne considérez qu'un intervalle. Vous devez le redimensionner pour vous assurer que le pdf s'intègre à 1. Mais cela me semble être exactement ce que vous recherchez.

— Dason
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Le PDF de la distribution normale tronquée est très complexe. Je me demande si je viens de "taper" le DPF de la distribution normale avec une fenêtre lisse, comme un cosinus conique, et une mise à l'échelle pour obtenir une unité intégrale?

— mbaitoff

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@mbaitoff: En termes d' échantillonnage à partir d'une distribution tronquée sur un disque, cela peut être fait assez facilement par échantillonnage de rejet ou d'autres méthodes. Si vous voulez que la distribution soit centrée à l'origine et circulairement symétrique, alors il suffit d'avoir un échantillon d'une seule distribution (par exemple, sur le disque de l' unité ), puis de redimensionner de manière appropriée.

— Cardinal

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La distribution de VonMises est similaire à la normale, mais est utilisée avec des données circulaires et est définie uniquement sur l'intervalle d'un cercle (0-360 degrés ou 0-2pi radians).

La distribution bêta est définie de 0 à 1 (mais pourrait être mise à l'échelle à d'autres intervalles), avec les paramètres égaux, elle est symétrique et pour de nombreuses valeurs en forme de cloche.

— Greg Snow
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Ce sont de bonnes suggestions, en particulier les von Mises, mais il semble que l'OP s'intéresse principalement aux distributions sur un disque d'un rayon donné.

— cardinal

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Il pourrait utiliser les VonMises pour l'angle et la Bêta pour le rayon. Soit indépendamment les uns des autres, soit les paramètres de la bêta pourraient dépendre de l'angle.

— Greg Snow

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Je me trompe peut-être, mais il semble que le PO recherche probablement quelque chose produisant une distribution de phase uniforme. Le von Mises semble être orienté vers les applications liées à la synchronisation de phase. Il semblerait un peu étrange que la phase de la balle soit plus susceptible d'être nulle que, disons, , à moins qu'il y ait un biais dans l'emplacement moyen par rapport à l'origine. Cela dit, c'est une fonctionnalité intéressante que la distribution uniforme est contenue dans la classe von Mises.

π / 2

$\pi/2$

— Cardinal

Eh bien, pour obtenir une distribution uniforme dans le cercle, une distribution uniforme sur l'angle couplée à une distribution triangulaire pour le rayon devrait fonctionner!

— kjetil b halvorsen

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C'est une vieille question, mais elle est toujours pertinente pour les nouveaux lecteurs. Je suis surpris que personne n'ait mentionné la distribution du cosinus surélevé .

Avec les paramètres moyens et spread il est parfaitement borné en et sa fonction de densité de probabilité (PDF) a également une courbe en forme de cloche. $\mu$ $s$ $[\mu - s, \mu + s]$

— plasmacel
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Mais a-t-il une version bidimensionnelle (dans l'avion)?

— kjetil b halvorsen

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@kjetilbhalvorsen Je ne sais pas, mais aucune des réponses ici ne présente une solution multivariée.

— plasmacel

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+1 pour la réponse d'échantillonnage de rejet.

Pourriez-vous également échantillonner à partir de la distribution bêta où (aka ) est 1 et (aka )? Ceci est défini sur [0,1], donc multipliez par le rayon du disque, et vous n'aurez aucune probabilité de sélectionner des points dans le rayon ou plus. $\alpha$ shape1 $\beta \gt 1$ shape2

Les avantages incluent: a) il y a une probabilité nulle de sélectionner une distance supérieure ou égale au rayon, et b) vous pouvez faire un échantillonnage simple plutôt que des choses comme l'échantillonnage de rejet.

Les inconvénients incluent: a) il est agité près de 0 et b) la distribution n'est pas "très similaire" à la gaussienne. (Il est beaucoup plus élevé près de 0 - c'est-à-dire au centre - que le gaussien, bien que cela puisse en effet être ce que le PO souhaite.)

— Wayne
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Il semble que ce qui est recherché soit une distribution uniforme sur un disque, que je considérerai comme (l'intérieur du) cercle unitaire. On peut paramétrer par donc on a et . Nous pouvons laisser avoir une distribution uniforme, indépendante de , et devons trouver la distribution de qui donne une distribution uniforme sur le cercle. Puisque la probabilité doit être proportionnelle à l'aire, nous avons pour que et en prenant , donne $(r,\theta)$ $0 \le r \le 1$ $0 \le \theta \le 2\pi$ $\theta$ $R$ $R$ $0 \le a \le b \le 1$

P (a \leq R \leq b) \propto π b^{2} - π a^{2}

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(a\le R \le b) \propto \pi b^2 - \pi a^2$

a = 0

$a=0$

b = 1

$b=1$

F_{R} (r) = r^{2}

$F_R(r)= r^2$ . Alors la densité est la dérivée . La densité conjointe de et devient alors Ceci est facile à simuler à partir de la somme de deux indépendants les uniformes ont une distribution triangulaire (et symétrique), parfois décrite comme une distribution «en tente». Nous voulons seulement la partie gauche de la tente, que nous pouvons obtenir en reflétant la distribution sur une ligne verticale en haut (mode) de la tente. Simuler cela dans R donne:

f_{R} (r) = 2 r

$f_R(r)=2r$

R

$R$

θ

$\theta$

f (r, θ) = \frac{1}{2 π} \cdot 2 r = \frac{r}{π}

$f(r,\theta)=\frac1{2\pi}\cdot 2r = \frac{r}{\pi}$

Le code R de la simulation est:

set.seed(7*11*13)
rleft_tri  <-  function(n) {
    T  <-  runif(n)+runif(n)
    val  <-  ifelse(T <= 1,T, 2-T)
    val
}

rdisk  <-  function(n)  {
    val  <-  cbind(  rleft_tri(n),  2*pi*runif(n) )
    colnames(val)  <-  c("R","Theta")
    val
    }

#

library(plotrix)
par(bg="antiquewhite")
points  <- rdisk(10000)         plot(c(-1,1),c(-1,1),type="n",axes=FALSE,xlab="",ylab="",xlim=c(-1.1,1.1),ylim=c(-1.1,1.1))
    draw.circle(x=c(0,0),y=c(0,0),radius=1,col="aquamarine")
    points(with(as.data.frame(points),cbind(R*cos(Theta), R*sin(Theta))),pch=".",col="red",cex=2)

Notez qu'il s'agit d'un cas particulier de l'ancienne réponse de @Greg Snow, car la distribution «tente gauche» est une distribution bêta avec les paramètres . Mais le code ci-dessus pour le simuler est probablement plus rapide que le code général pour simuler à partir d'une version bêta (ou le serait s'il était programmé en C). $a=2, b=1$

— kjetil b halvorsen
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