Un nom pour cette condition de distribution?

J'ai rencontré une condition nécessaire sur une distribution de probabilité continue définie sur et je me demande si elle a un nom. Pour une distribution avec CDF et pdf j'ai besoin que la quantité: soit monotone non croissante. En mettant la condition sous une autre forme (en prenant des dérivées), l'exigence est que pour tout tel que : $[0, \infty]$$F$$f$

$$\phi(x) \equiv \frac{f(x)}{F(x)+xf(x)}$$ $x \in [0,\infty]$$f'(x) > 0$ $$f(x) \geq \sqrt{\frac{F(x) f'(x)}{2}}$$

Cela semble être une propriété généralement satisfaite, a-t-elle donc un nom? Il est lié à, mais distinct d'une condition de taux de risque monotone.

C'est presque la condition pour que la fonction de distribution cumulative soit log-concave , ce qui est une propriété très utile avec de nombreuses applications. Mais presque .

Une fonction est log-concave si$F(x)$

$$\frac {\partial^2 \ln F(x)}{\partial x^2} \le 0 \Rightarrow F''(x)F(x) - \left[F'(x)\right]^2 \le 0$$

Ecrire en termes de$\phi(x)$$F(x)$

$$\phi(x) \equiv \frac{F'(x)}{F(x)+xF'(x)}$$

et nous voulons

$$\frac {\partial \phi(x)}{\partial x} \le 0 \Rightarrow F''(x)\Big(F(x)+xF'(x)\Big)-F'(x)\Big(F'(x)+F'(x) +xF''(x)\Big) \le 0$$

$$\Rightarrow F''(x)F(x)-2\left[F'(x)\right]^2 \le 0$$

... ce qui n'est pas suffisant pour la log-concavité, en raison de l'existence du facteur . $2$

Supposons que la condition est remplie. Si nous divisons par et réorganisons nous obtenons$[F(x)]^2$

$$\frac {\partial \phi(x)}{\partial x} \le 0 \Rightarrow \frac {\partial^2 \ln F(x)}{\partial x^2} \le \left( \frac{F'(x)}{F(x)}\right)^2 = \left(\frac {\partial \ln F(x)}{\partial x}\right)^2$$