La réponse de @ dilip est suffisante, mais je pensais simplement que j'ajouterais quelques détails sur la manière dont vous obtenez le résultat. Nous pouvons utiliser la méthode des fonctions caractéristiques. Pour tout de distribution de dimension normale multivariée X ~ N d ( μ , Σ ) où μ = ( μ 1 , ... , μ d ) T et Σ j k = c o v ( X j , X k )dX∼Nd(μ,Σ)μ=(μ1,…,μd)T , la fonction caractéristique est donnée par:Σjk=cov(Xj,Xk)j,k=1,…,d
=exp(i d Σ j=1tjμj-1
φX(t)=E[exp(itTX)]=exp(itTμ−12tTΣt)
=exp(i∑j=1dtjμj−12∑j=1d∑k=1dtjtkΣjk)
Y∼N1(μY,σ2Y)
φY(t)=exp(itμY−12t2σ2Y)
Z=aTX=∑dj=1ajXjd=2a1=a2=1ZX
φZ(t)=E[exp(itZ)]=E[exp(itaTX)]=φX(ta)
=exp(it∑j=1dajμj−12t2∑j=1d∑k=1dajakΣjk)
φY(t)μYμZ=∑dj=1ajμjσ2Yσ2Z=∑dj=1∑dk=1ajakΣjkZYZΣjk=Σkj
σ2Z=∑j=1da2jΣjj+2∑j=2d∑k=1j−1ajakΣjk
Σjj=var(Xj)Σjk=cov(Xj,Xk)d=2a1=a2=1
σ2Z=∑j=12(1)2Σjj+2∑j=22∑k=1j−1(1)(1)Σjk=Σ11+Σ22+2Σ21