Intervalle de confiance basé sur le bootstrap

En étudiant l'intervalle de confiance basé sur le bootstrap, j'ai lu une fois la déclaration suivante:

Si la distribution de bootstrap est biaisée vers la droite, l'intervalle de confiance basé sur le bootstrap incorpore une correction pour déplacer les points d'extrémité encore plus vers la droite; cela peut sembler contre-intuitif, mais c'est la bonne action.

J'essaie de comprendre la logique qui sous-tend la déclaration ci-dessus.

La question est liée à la construction fondamentale des intervalles de confiance, et en ce qui concerne le bootstrap, la réponse dépend de la méthode de bootstrap utilisée.

Considérons la configuration est un estimateur d'un paramètre à valeur réelle θ avec (estimée) écart - type en soi , puis un intervalle de confiance de niveau de 95% sur la base d' une normale N ( θ , se 2 ) approximation est θ ± 1,96 SE . Cet intervalle de confiance est dérivée comme l'ensemble des θ « s qui remplissent z 1 ≤ θ - θ ≤ z 2 où z 1 = - 1,96 $\hat{\theta}$$\theta$$\text{se}$$N(\theta, \text{se}^2)$

$$\hat{\theta} \pm 1.96 \text{se}.$$ $\theta$ $$z_{1} \leq \hat{\theta} - \theta \leq z_2$$ $z_1 = -1.96\text{se}$est le quantile de 2,5% et est le quantile de 97,5% pour la distribution N ( 0 , se 2 ) . L'observation intéressante est que lorsque réorganisant les inégalités nous obtenons l'intervalle de confiance exprimé en { θ | θ - z 2 ≤ θ ≤ θ - z 1 } = [ θ - z 2 , θ - z 1 ] $z_2 = 1.96\text{se}$$N(0, \text{se}^2)$ $$\{\theta \mid \hat{\theta} - z_2 \leq \theta \leq \hat{\theta} - z_1 \} = [\hat{\theta} - z_2, \hat{\theta} - z_1].$$ C'est-à-dire que c'est le quantile inférieur de 2,5% qui détermine le point final droit et le quantile supérieur 97,5% qui détermine le point final gauche .

Si la distribution d' échantillonnage de θ est asymétrique à droite par rapport à l'approximation normale, ce qui est alors l'action appropriée? Si l'inclinaison vers la droite signifie que le quantile de 97,5% pour la distribution d'échantillonnage est z 2 > 1,96 se , l'action appropriée consiste à déplacer le point d'extrémité gauche plus à gauche. Autrement dit, si nous nous en tenons à la construction standard ci-dessus. Une utilisation standard du bootstrap consiste à estimer les quantiles d'échantillonnage, puis à les utiliser au lieu de ± 1,96 se dans la construction ci-dessus.$\hat{\theta}$$z_2 > 1.96\text{se}$$\pm 1.96 \text{se}$

$$[\hat{\theta} + z_1, \hat{\theta} + z_2].$$ $\hat{\theta}.$$\hat{\theta}$me semble être un comportement contre-intuitif des intervalles de centiles. Mais ils ont d'autres vertus et sont, par exemple, invariants sous les transformations de paramètres monotones.

Les intervalles de bootstrap BCa (à correction de biais et accélérés) tels qu'introduits par Efron, voir par exemple les Intervalles de con fi ance de bootstrap papier , améliorent les propriétés des intervalles de centile. Je ne peux que deviner (et google) la citation du poste OP, mais peut-être que BCa est le contexte approprié. Citant Diciccio et Efron dans l'article mentionné, page 193,

$a$$z_0$$\phi = m(\theta)$$\hat{\phi} = m(\hat{\theta})$$\theta$

$$\hat{\phi} \sim N(\phi - z_0 \sigma_{\phi}, \sigma_{\phi}^2), \quad \sigma_{\phi} = 1 + a \phi.$$ $\theta$$\hat{\theta}$

$m$