Mis à part la famille exponentielle, d'où peuvent provenir les antérieurs conjugués?

Est - ce que tous les prieurs conjugués doivent venir de la famille exponentielle? Sinon, quelles autres familles sont connues pour avoir / produire des prieurs conjugués?

Comme expliqué par exemple dans la section 3.3.3 du livre "Le choix bayésien" de Christian Robert, il existe en effet un lien étroit entre les familles exponentielles et les prieurs conjugués, mais il existe des prieurs conjugués disponibles pour certaines familles non exponentielles. Il appelle ces «quasi-exponentielles», car ce sont des familles pour lesquelles il existe des statistiques suffisantes de dimension finie n'augmentant pas avec la taille de l'échantillon.

Voici un exemple de distribution uniforme, dont le support dépend du paramètre de la distribution et ne peut donc pas être une famille exponentielle (comme cela est bien connu):

Ici, la distribution de Pareto est un conjugué a priori pour le paramètre de la distribution uniforme sur .$b$$[0,b]$

La densité de la distribution de Pareto avec les paramètres et est pour et sinon.$c>0$$% \alpha >0$

$$\begin{equation*} f(x)=\alpha c^{\alpha }x^{-\alpha -1} \end{equation*}$$ $x\geq c$$f(x)=0$

L'avant du paramètre d'une distribution uniforme sur est une distribution de Pareto avec et , La probabilité pour les données , étant donné , est $b$$[0,b]$$c_{0}$$\alpha _{0}$

$$\begin{eqnarray*} \pi (b) &=& \left\{ \begin{array}{ll} \alpha _{0}c_{0}^{\alpha _{0}}b ^{-\alpha _{0}-1} & \quad \text{if } b \geq c_{0} \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array} \right. \\ &\propto &\left\{ \begin{array}{ll} b ^{-\alpha _{0}-1} & \quad \text{if }b \geq c_{0} \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \end{eqnarray*}$$ $y_{1},\ldots ,y_{n}$$b$ $$\begin{equation*} f\left( y |b\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \prod_{i=1}^{n}\frac{1}{b }=b ^{-n} & \quad \text{if }0\leq y_{i}\leq b \text{ for all }i=1,\ldots ,n \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \end{equation*}$$ Le produit de la vraisemblance et du précédent est le postérieur non normalisé $$\begin{eqnarray*} \pi \left( b |y\right) &\propto &\pi (b )f\left( y |b\right) \\ &=&\left\{ \begin{array}{ll} \alpha _{0}c_{0}^{\alpha _{0}}b ^{-\alpha _{0}-1}b ^{-n} & \quad \text{if }b \geq c_{0}\text{ and }0\leq y_{i}\leq b \text{ for all }i=1,\ldots ,n \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \\ &\propto &\left\{ \begin{array}{ll} b ^{-\alpha _{0}-n-1} & \quad \text{if }b \geq c_{0}\text{ and }% 0\leq y_{i}\leq b \text{ for all }i=1,\ldots ,n \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \\ &\propto &\left\{ \begin{array}{ll} b ^{-\alpha _{1}-1} & \quad \text{if }b \geq c_{1} \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \end{eqnarray*}$$ avec $$\begin{eqnarray*} \alpha _{1} &=&\alpha _{0}+n \\ c_{1} &=&\max\bigl(\max_{i}y_{i},c_0\bigr). \end{eqnarray*}$$ Par conséquent, le postérieur est distribué par Pareto.