Intervalles de chevauchement aléatoires

Comment trouver une expression analytique dans le problème suivant? $D(n,l,L)$

Je dépose aléatoirement "barres" de longueur dans un intervalle . Les "barres" peuvent se chevaucher. Je voudrais trouver la longueur totale moyenne de l'intervalle occupée par au moins une "barre". $n$ $l$ $[0,L]$ $D$ $[0,L]$

Dans la limite "basse densité", le chevauchement doit être négligeable et . Dans la limite « haute densité », approche . Mais comment puis-je obtenir une expression générale pour ? Cela devrait être un problème statistique assez fondamental, mais je n'ai pas trouvé de solution explicative dans les forums. $D = n\cdot l$ $D$ $L$ $D$

Toute aide serait grandement appréciée.

Notez que les barres sont supprimées vraiment au hasard (statistiquement indépendantes) les unes des autres.

probability distributions

— Daniel
source

Est-ce une question d'un cours ou d'un manuel? Si oui, veuillez ajouter la [self-study]balise et lire son wiki .

— gung - Rétablir Monica

Non ce n'est pas. vous pouvez calculer facilement la longueur occupée moyenne avec un ordinateur par échantillonnage, mais le problème semble fondamental qu'il doit y avoir une approche théorique pour le résoudre. Puisque mes tentatives ont toutes échoué, j'étais simplement curieux de savoir comment le faire.

— Daniel

Quel est votre modèle pour savoir comment les barres sont "déposées" sur [0, L]? Est-il possible qu'ils dépassent des bords? Modifier: votre dessin et votre réponse le suggèrent.

— Adrian

Trouver la probabilité qu'une donnée est PAS couvert - qui est une intersection événements iid. La longueur attendue d'une portion découverte est alors simplement .

p (x) d x

$p(x)dx$

d x

$dx$

n

$n$

\int_{0}^{L} p (x) d x

$\int_0^L p(x)dx$

— AS

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

La probabilité qu'un point dans soit occupé par une seule barre baissée est $[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$ .

De même, la probabilité d'être vide est . La probabilité qu'un point donné soit toujours vide après barres abandonnées est , et d'être occupé est $P_{e} = 1 - P_o$ $n$ $P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

pour grand . $n$

Ensuite, la longueur moyenne occupée dans après "gouttes de barre" aléatoires est $[x_0,x_0 + L]$ $n$

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$ .

— Daniel
source

Vous êtes sur la bonne voie, mais certains signes indiquent que des soins supplémentaires pourraient être nécessaires. Le plus important est peut-être le fait que les événements associés à deux points quelconques ne sont pas indépendants: qu'est-ce qui justifie alors la multiplication des probabilités? Je crois également que votre expression pour est incorrecte. Considérons, par exemple, le cas où . D'après votre dessin, il semble que vous supposiez que l'extrémité gauche de la barre a une distribution uniforme sur l'intervalle . Par conséquent, la chance que soit couvert est , ce qui n'est pas égal à .

P_{0}

$P_0$

l = L = 1

$l=L=1$

[- l, L] = [- 1, 1]

$[-l, L]=[-1,1]$

0

$0$

1 / 2

$1/2$

l / L = 1

$l/L=1$

— whuber

Merci pour les indices. Vous avez raison, j'aurais dû écrire qu'il est censé y avoir une corrélation nulle entre les "dessins" aléatoires. Et vous avez également raison, la solution ci-dessus n'est valable que lorsque les barres ne sont pas autorisées à dépasser. Comment le problème pourrait-il être résolu en les laissant dépasser?

— Daniel

Mon point est que même lorsque les barres sont supprimées de manière aléatoire et indépendante , pour tout les événements "cette barre couvre le point " et "cette même barre couvre le point " sont fortement interdépendants. En particulier, si , elles ne peuvent pas se produire simultanément. Une façon de gérer cela rigoureusement consiste à relier les probabilités aux attentes.

x, y \in [0, L]

$x,y\in [0,L]$

x

$x$

y

$y$

| x - y | > l

$|x-y|\gt l$

— whuber

J'ai considéré les effets de frontière maintenant. Je comprends que l'occupation de deux points différents dans l'intervalle est corrélée, mais je ne vois pas comment cela affecterait la solution.

— Daniel