Variance dans l'estimation de p pour une distribution binomiale

comment puis-je calculer la variance de p dérivée d'une distribution binomiale? Disons que je lance n pièces et que j'obtiens k têtes. Je peux estimer p comme k / n, mais comment puis-je calculer la variance de cette estimation?

Cela m'intéresse afin de pouvoir contrôler la variance de mes estimations de ratio lorsque je compare des points avec différents nombres d'essais. Je suis plus sûr de l'estimation de p quand n est plus grand, donc je voudrais pouvoir modéliser la fiabilité de l'estimation.

Merci d'avance!

exemple:

40/100. Le MLE de p serait de 0,4, mais quelle est la variance de p?
4/10. Le MLE serait toujours de 0,4, mais l'estimation est moins fiable, il devrait donc y avoir plus de variance dans p.

probability variance binomial

— Jautis
source

Si est alors MLE de est . $X$ $\text{Binomial}(n, p)$ $p$ $\hat{p} = X/n$

Une variable binomiale peut être considérée comme la somme de variables aléatoires de Bernoulli. où . $n$ $X = \sum_{i=1}^n Y_i$ $Y_i\sim\text{Bernoulli}(p)$

afin que nous puissions calculer la variance du MLE comme $\hat{p}$

\begin{aligned} Var [\hat{p}] & = Var [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}] \\ = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} V a r [Y_{i}] \\ = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} p (1 - p) \\ = \frac{p (1 - p)}{n} \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Var}[\hat{p}] &= \text{Var}\left[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\right]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n Var[Y_i]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n p(1-p)\\ &= \dfrac{p(1-p)}{n} \end{align*}$

Ainsi, vous pouvez voir que la variance de la MLE devient plus petite pour les grands , et aussi elle est plus petite pour proche de 0 ou 1. En termes de elle est maximisée lorsque . $n$ $p$ $p$ $p=0.5$

Pour certains intervalles de confiance, vous pouvez consulter les intervalles de confiance binomiaux

— bdeonovic
source

Je pense que le lien est similaire à ce que je recherche, mais je veux une valeur équivalente à la variance de p. Comment puis-je obtenir cela de l'intervalle de confiance?

— Jautis

J'ai modifié ma réponse d'origine pour répondre de plus près à votre question.

— bdeonovic

Comment gérez-vous que la formule de la variance nécessite p mais que vous n'avez qu'une estimation de p?

— Ramon Martinez

Vous pourriez envisager d'utiliser une transformation de stabilisation de la variance telle que , puis vous obtenez que la variance de la variable transformée est

a r c s i n (\sqrt{\hat{p}})

$arcsin(\sqrt{\hat{p}})$

\frac{1}{4 n}

$\tfrac{1}{4n}$

— bdeonovic