Inégalité unilatérale de Chebyshev pour un moment plus élevé

Y a-t-il un analogue aux inégalités du moment supérieur de Tchebychev dans le cas unilatéral?

L'inégalité de Chebyshev-Cantelli ne semble fonctionner que pour la variance, tandis que l'inégalité de Chebyshev peut facilement être produite pour tous les exposants.

Quelqu'un connaît-il une inégalité unilatérale en utilisant les moments supérieurs?

Pour plus de commodité, notons une variable aléatoire à moyenne nulle continue avec la fonction de densité f ( x ) , et considérons P { X ≥ a } où a > 0 . On a P { X ≥ a } = ∫ ∞ a f ( x $X$$f(x)$$P\{X \geq a\}$$a > 0$ où g ( x ) = 1 [ a , ∞ ) . Si n est unmêmenombre entier et b un nombre réel positif, h ( x ) = ( x +

$$P\{X \geq a\} = \int_a^{\infty}f(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)]$$ $g(x) = \mathbf 1_{[a,\infty)}$$n$$b$ et donc E[h(X)]=∫ ∞ - ∞ h(x)f(x $$h(x) = \left(\frac{x+b}{a+b}\right)^n \geq g(x), -\infty < x < \infty,$$ On a donc que pour tous les nombres réels positifs a et b , P { X ≥ a } ≤ E [ ( X + $$E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,\mathrm dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)].$$ $a$$b$ où l'espérance la plus à droite en(1)est len-ème moment (npair) deXenviron-b. Lorsquen=2, la plus petite borne supérieure sur P{X≥a}est obtenue lorsqueb=σ $$P\{X \geq a\} \leq E\left[\left(\frac{X+b}{a+b}\right)^n\right] = (a+b)^{-n}E[(X+b)^n]\tag{1}$$ $(1)$$n$$n$$X$$-b$$n = 2$$P\{X \geq a\}$ donnant l'inégalité unilatérale de Chebyshev (ou l'inégalité de Chebyshev-Cantelli): P { X ≥ a } ≤ σ $b = \sigma^2/a$ Pour des valeurs plus grandes den, la minimisation par rapport àbest plus compliquée. $$P\{X \geq a\} \leq \frac{\sigma^2}{a^2 + \sigma^2}.$$ $n$$b$