Distribution du RV uniforme continu, la limite supérieure étant un autre RV uniforme continu

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Si et , puis-je dire que $X \sim U(a, b)$ $Y \sim U(a, X)$ $Y \sim U(a, b)?$

Je parle de distributions uniformes continues avec des limites . Une preuve (ou une preuve!) Sera appréciée. $[a, b]$

uniform distributions

— Blain Waan
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Non, ça ne l'est pas. Dans R: hist(runif(1e4,0,runif(1e4)))montre assez clairement que

n'est certainement pas uniformément distribué. (Je poste ceci en tant que commentaire car vous avez demandé une preuve, ce qui ne devrait pas être difficile, mais pour être honnête, étant donné l'histogramme asymétrique, je ne pense pas qu'une preuve soit nécessaire ...)

Y

$Y$

— Stephan Kolassa

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a = 0, b = 1

$a=0,b=1$

y \in [0, 1]

$y\in[0,1]$

Pr (Y \leq y) = y / X

$\Pr(Y\le y)=y/X$

X \geq y

$X\ge y$

0

$0$

Pr (X \geq y) = 1 - y

$\Pr(X\ge y)=1-y$

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Nous pouvons dériver la distribution de analytiquement. Tout d'abord, notez que c'est qui suit la distribution uniforme, c'est-à-dire $Y$ $Y|X$

f (y | x) = U (a, X)

$f\left(y|x \right) = U(a, X)$

et donc

\begin{aligned} f (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f (y | x) f (x) d x & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} \frac{1}{b - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} [\log (b - a) - \log (y - a)], a < y < b \end{aligned}

$\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}$

qui n'est pas une distribution uniforme à cause de . Voici à quoi ressemble la densité simulée pour une distribution , superposée à ce que nous venons de calculer. $\log(y-a)$ $U(0,1)$

y <- runif(1000, 0, runif(1000,0,1))
hist(y, prob =T)
curve( -log(x), add = TRUE, lwd = 2)

— JohnK
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Définitivement pas.

Pour simplifier, définissons . $a = 0, b = 1$

alors

$P(Y > 0.5) = P(Y > 0.5 | X > 0.5)P(X > 0.5)$

$< P(X< 0.5) = 0.5$

En raison de l'inégalité stricte, il n'est pas possible que Unif (0,1). $Y \sim$

— Cliff AB
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