Problème de couleur de l'ampoule

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Veuillez d'abord examiner le petit problème suivant:

Il y a deux ampoules indiscernables A et B. A clignote en rouge avec prob .8 et bleu avec prob .2; B rouge avec .2 et bleu .8. Maintenant, avec 0,5 prob, vous êtes présenté avec A ou B. Vous êtes censé observer sa couleur flash pour faire une meilleure estimation (maximiser la probabilité de deviner correctement) de quelle ampoule il s'agit. Avant de commencer à faire des observations, cependant, vous devez décider combien de fois vous voulez l'observer (dites n fois, puis vous l'observez clignoter n fois et faites votre supposition). Supposons que les flashs soient indépendants.

Intuitivement, on pourrait penser que plus on fait d'observations, meilleures sont les chances. Curieusement cependant, il est facile de calculer que n = 2 ne s'améliore pas sur n = 1, et n = 4 ne s'améliore pas sur n = 3. Je ne suis pas allé plus loin mais je suppose que n = 2k ne s'améliore pas sur n = 2k-1. Je ne suis pas en mesure de le prouver pour le cas général. Mais est-ce vrai? Si oui, comment comprendre intuitivement le résultat?

bayesian binomial

— Eric
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Vous avez raison: n'améliore pas dans ce cas symétrique. $n=2k$ $n=2k-1$

Clairement, la stratégie optimale est de regarder le nombre de flashs rouges et bleus et de choisir A ou B en fonction de la couleur qui apparaît le plus. Si le même nombre apparaît pour chacun, cela ne fait aucune différence que vous devinez, car votre chance d'être correct est de dans cette situation. $0.5$

S'il y a une majorité d'une couleur après les flashs alors la majorité doit être uniforme et au moins 2, de sorte que la couleur a également eu une majorité d'au moins 1 après les flashs . S'il y a égalité après flashs, alors choisir la couleur avec une majorité après flashs est aussi bon que n'importe quelle autre règle de décision dans cette situation. Ainsi, avec un nombre pair de flashs, le flash final ne vous aide pas à améliorer correctement votre changement de devinette. $2k$ $2k-1$ $2k$ $2k-1$

— Henri
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@Henry: "S'il y a une majorité d'une couleur après 2k flashs, alors la majorité doit être égale et au moins 2" J'ai peut-être mal compris votre point, mais pourquoi doit-il être pair? Par exemple, si k = 10 et le rouge est observé 11 fois et le bleu 9 fois, d'où vient la régularité?

— Eric

@Eric: qui est un nombre pair. Si alors qui est pair.

11 - 9 = 2

$11-9=2$

a + b = 2 k

$a+b=2k$

a - b = 2 (k - b)

$a-b=2(k-b)$

— Henry

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Pour répondre de manière rigoureuse, ce problème se résume à observer le nombre de flashs rouges qui est soit un binôme (A) ou un binôme (B), avec une probabilité de pour chacun. La probabilité de sélection de l'ampoule A est ainsi donnée par le théorème de Bayes donc Par conséquent, A (resp. B) est choisi lorsque (resp. ). Ainsi, lorsque $X$ $\mathcal{B}(n,.8)$ $\mathcal{B}(n,.8)$ $0.5$

P (b = A | X = x) = \frac{P (X = x | b = A)}{P (X = x | b = A) + P (X = x | b = B)}

$\mathbb{P}(b=A|X=x) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x|b=A)}{\mathbb{P}(X=x|b=A)+\mathbb{P}(X=x|b=B)}$

P (b = A | X = x) = \frac{(\binom{n}{x}) {0.8}^{x} {0.2}^{n - x}}{(\binom{n}{x}) {0.8}^{x} {0.2}^{n - x} + (\binom{n}{x}) {0.2}^{x} {0.8}^{n - x}} = \frac{1}{1 + 4^{n - 2 x}}

$\mathbb{P}(b=A|X=x) = \dfrac{{n \choose x} 0.8^x 0.2^{n-x}}{{n \choose x} 0.8^x 0.2^{n-x}+{n \choose x} 0.2^x 0.8^{n-x}}=\dfrac{1}{1+4^{n-2x}}$

n - 2 x < 0

$n-2x<0$

n - 2 x > 0

$n-2x>0$

n = 2 k - 1

$n=2k-1$ , la probabilité de choisir correctement A est

P (X > (2 k - 1) / 2 | b = A) = P (X \geq k | b = A) = \sum_{x = k}^{2 k - 1} (\binom{2 k - 1}{x}) {0.8}^{x} {0.2}^{2 k - 1 - x} .

$\mathbb{P}(X>(2k-1)/2|b=A) = \mathbb{P}(X\ge k|b=A) =\sum_{x=k}^{2k-1} {2k-1 \choose x} 0.8^x 0.2^{2k-1-x}\,.$

— Xi'an
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: C'est utile. C'est la même formule qu'ici stats.stackexchange.com/questions/18975/… , uniquement avec des notations légèrement différentes. Mais pour compléter cette preuve rigoureuse, vous devez toujours montrer que et impliquent la même probabilité correcte.

n = 2 k

$n=2k$

n = 2 k - 1

$n=2k-1$

— Eric

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Cela se fait dans la réponse à votre autre question, <a href=" stats.stackexchange.com/questions/18975/… pour une équation binomiale</a>

— Xi'an

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Notez également que cette autre question de la vôtre ne fournit que la toute dernière formule, tandis que ma réponse explique pourquoi nous atteignons cette formule.

— Xi'an