Quel est le moment d'une variable aléatoire conjointe?

Question simple, mais étonnamment difficile à trouver en ligne.

Je sais que pour un RV , on définit le kème moment comme où l'égalité suit si , pour une densité et Lebesgue mesure .$X$

Alors, quel est le kième moment de, disons, ? ne me semble pas vraiment la réponse ....$(X,Y)$$\int (X,Y) \ d P$

Il n'y a pas de "the" en ce qui concerne les moments, car ils sont nombreux, mais les moments des variables bivariées sont indexés par deux indices, pas un.

Donc, plutôt que le ème moment,$k$$\mu_k$ tu as $(j,k)$-th moments, $\mu_{j,k}$ (parfois écrit $\mu_{jk}$quand ce n'est pas ambigu). On pourrait parler de$\mu_{1,1}$, le $(1,1)$ moment ou $\mu_{1,2}$, le $(1,2)$ moment, ou $\mu_{2,2}$, etc.

Ces moments sont parfois appelés moments mixtes.

Donc, généralisant votre exemple continu unidimensionnel,

$\mu_{j,k} = \int\int x^j y^k f(x,y) \, dx dy$

Cela se généralise aux dimensions supérieures.

Comme l'a mentionné @ Glen_b ♦, moment généralisé au moment croisé (concepts liés: fonction de génération de moment conjoint , fonction caractéristique conjointe et cumulant ) dans des dimensions plus élevées.

Cela dit, pour moi, cette définition ne ressemble pas à un moment univarié, car le moment croisé est évalué à un nombre réel, mais pour, disons, un vecteur normal multivarié, la moyenne est un vecteur et la variance est une matrice . Je suppose que l'on pourrait définir des "moments" de dimension supérieure en utilisant des dérivées de la fonction caractéristique conjointe$\varphi_\mathbf{X}(\mathbf{t})=E[e^{i\mathbf{t}'\mathbf{X}}]$, ici les dérivés sont généralisés en utilisant$k$ tenseurs (donc la dérivée du second ordre serait une matrice de Hesse).

Il existe de nombreux autres sujets connexes intéressants, tels que: Mesures de l'asymétrie multivariée et du kurtosis avec applications .