Théorème de Bayes avec plusieurs conditions

Je ne comprends pas comment cette équation a été dérivée.

$P(I|M_{1}\cap M_{2}) \leq \frac{P(I)}{P(I')}\cdot \frac{P(M_{1}|I)P(M_{2}|I)}{P(M_{1}|I')P(M_{2}|I')}$

Cette équation est tirée de l'étude "Trial by Probability" où le cas d'OJ Simpson a été donné comme exemple de problème. Le prévenu est jugé pour double meurtre et deux preuves sont présentées contre lui.

$M_{1}$ est le cas où le sang de l'accusé correspond à une goutte de sang trouvée sur une scène de crime. $M_{2}$ est le cas où le sang d'une victime correspond au sang sur une chaussette appartenant à l'accusé. En supposant la culpabilité, l'occurrence d'une preuve augmente la probabilité de l'autre. J'est le cas où un accusé est innocent alors que est quand il est coupable. $I$ $I'$

Nous essayons d'obtenir le PLAFOND de la probabilité que l'accusé soit innocent compte tenu des deux preuves.

Des valeurs ont été données pour certaines variables, mais ce qui m'intéresse, c'est comment l'équation a été dérivée. J'ai essayé mais je suis arrivé nulle part.

Oui, j'ai déjà vérifié les «Questions qui peuvent déjà avoir votre réponse».

bayesian conditional-probability bayes

— Sakurabe
source

Quelle est la signification de

? Est-ce que

I^{'}

$I^\prime$

I^{c}

$I^\text{c}$

— Xi'an

@ Xi'an oui

est

dans une autre notation

I^{'}

$I'$

I^{c}

$I^{c}$

— Sakurabe

Par le théorème de Bayes: Maintenant, le document que vous avez fourni fait valoir que

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} \cap M_{2})} \\ = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} . \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(M_1\cap M_2)}\\&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}.\end{align*}$

Si est vrai, alors et sont indépendants. Mais en supposant la culpabilité, l'occurrence de l'un augmenterait la probabilité de l'autre. $I$ $M_1$ $M_2$

Donc et

\begin{matrix} (1) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) = P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I), \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I)=P(M_1\mid I)P(M_2\mid I),\label{eq1}\tag{1}$

Par conséquent,

\begin{matrix} (2) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'}) = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) . \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I')=P(M_1\mid M_2\cap I')P(M_2\mid I')\geq P(M_1\mid I')P(M_2\mid I').\label{eq2}\tag{2}$

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Substitute with (1)) \\ \leq \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Lesser Denominator) \\ \leq \frac{P (I)}{P (I^{'})} \cdot \frac{P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'})} . & (Substitute with (2)) \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Substitute with \eqref{eq1})}\\&\leq\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Lesser Denominator)}\\&\leq\frac{P(I)}{P(I')}\cdot\frac{P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(M_1\mid I')P(M_2\mid I')}.&& \text{(Substitute with \eqref{eq2})} \end{align*}$

$\eqref{eq2}$

\begin{aligned} \frac{P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})}{P (M_{2} ∣ I^{'})} & = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})} \\ = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'})} \\ = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{P(M_1\cap M_2\mid I')}{P(M_2\mid I')}&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')/P(I')}{P(M_2\cap I')/P(I')}\\&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')}{P(M_2\cap I')}\\&=P(M_1\mid M_2\cap I')\end{align*}$

M_{2}

$M_2$

M_{1}

$M_1$

P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'})

$P(M_1\mid M_2\cap I')\geq P(M_1\mid I')$

— Francis
source

Je veux d'abord vous remercier d'avoir pris le temps d'aider. Mais je suis toujours un peu confus. Pourriez-vous s'il vous plaît ajouter des numéros d'équation et indiquer où vous appliquez des équations antérieures dans des substitutions ultérieures? Les choses commencent à avoir un sens, mais je ne comprends toujours pas l'inégalité après le «et», et la partie où vous remplacez le dénominateur et le tout devient une inégalité. Je suppose qu'une explication sur la façon dont l'argument cité dans le document est traduit mathématiquement aiderait. Merci encore!

— Sakurabe

@Sakurabe: mieux?

— Francis

P (I) P (M_{1} \cap M_{2} | I)

$P(I)P(M_{1}\cap M_{2}|I)$ du dénominateur? Comme en goutte sans théorème ou quoi que ce soit? Je veux dire, cela a un certain sens car cela ne renverserait pas l'inégalité résultante de (2), plus c'est aussi ce que j'ai supposé qu'ils ont fait dans un exemple précédent dans le document impliquant une seule preuve ADN (avec le +1 dans le dénominateur) ). Merci, j'apprécie vraiment votre aide.

— Sakurabe

@Sakurabe: Oui, car ce terme n'est pas négatif, donc le laisser tomber diminuera le dénominateur.

— Francis