Pourquoi la distribution de Poisson est-elle choisie pour modéliser les processus d'arrivée dans les problèmes de la théorie de la file d'attente?

Lorsque nous considérons les scénarios de la théorie de la file d'attente où les individus arrivent à un nœud de service et font la queue, généralement un processus de Poisson est utilisé pour modéliser les heures d'arrivée. Ces scénarios surviennent dans les problèmes de routage réseau. J'apprécierais une explication intuitive pour expliquer pourquoi un processus de Poisson est le mieux adapté pour modéliser les arrivées.

poisson-distribution intuition queueing

— Vighnesh
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Réponses:

Le processus de Poisson implique un temps d'attente "sans mémoire" jusqu'à l'arrivée du prochain client. Supposons que le temps moyen d'un client au suivant soit . Une distribution de probabilité continue sans mémoire jusqu'à la prochaine arrivée est une distribution dans laquelle la probabilité d'attendre une minute, une seconde ou une heure supplémentaire, etc., jusqu'à la prochaine arrivée, ne dépend pas du temps que vous avez attendu depuis la dernière . Le fait que vous ayez déjà attendu cinq minutes depuis la dernière arrivée ne rend pas plus probable qu'un client arrive dans la minute suivante, que ce ne serait le cas si vous n'aviez attendu que 10 secondes depuis la dernière arrivée. $\theta$

Cela implique automatiquement que le temps d'attente jusqu'à l'arrivée suivante satisfait , c'est-à-dire qu'il s'agit d'une distribution exponentielle. $T$ $\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

Et cela peut à son tour montrer que le nombre de clients arrivant pendant un intervalle de temps de longueur satisfait $X$ $t$ , c'est-à-dire qu'il a une distribution de Poisson avec une valeur attendue. De plus, cela implique que le nombre de clients arrivant dans des intervalles de temps non chevauchants est probabilistiquement indépendant. $\Pr(X=x) = \dfrac{e^{-t/\theta} (t/\theta)^x}{x!}$ $t/\theta$

L'absence de mémoire des temps d'attente conduit donc au processus de Poisson.

— Michael Hardy
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Quoi qu'en disent les théorèmes, c'est un fait expérimental que, dans des situations normales, les arrivées sont sans mémoire. Vous ne pouvez pas prouver que le nombre de clients arrivant au cours d'une certaine période est nul.

L'intention de la question n'était pas de demander une preuve formelle. Souvent, des observations sont faites qui conduisent à un théorème, puis l'intuition est «développée» pour s'adapter aux observations et ainsi aider à cimenter le théorème dans la compréhension populaire. Je cherchais quelque chose de similaire. J'ai modifié ma question pour inclure la même chose.

— Vighnesh

Merci d'avoir répondu. Je n'ai pas tout à fait suivi comment la mémoire moins arrivées conduit à

. Pourriez-vous, s'il vous plaît, élaborer ou citer une référence qui en parle en détail. Merci.

Pr (T > t) = e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

— Vighnesh

L'absence de mémoire dit

. C'est la même chose que

. L'événement

est le même que l'événement

Pr (T > t + s ∣ T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\mid T>t) = \Pr(T>s)$

Pr (T > t + s and T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\text{ and }T>t) = \Pr(T>s)$

[T > t + s and T > t]

$[T>t+s\text{ and }T>t]$

. La probabilité conditionnelle est donc

. L'absence de mémoire dit que c'est la même chose que

. On a donc

. Une fonction monotone

qui satisfait

T > t + s

$T>t+s$

Pr (T > t + s) / Pr (T > t)

$\Pr(T>t+s)/\Pr(T>t)$

Pr (T > s)

$\Pr(T>s)$

Pr (T > t + s) = Pr (T > t) Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s)=\Pr(T>t)\Pr(T>s)$

g

$g$

est une fonction exponentielle. Et la monotocité découle du fait que

doit être inférieur à

parce que le premier événement implique, mais n'est pas impliqué par, le second.

g (t + s) = g (t) g (s)

$g(t+s)=g(t)g(s)$

Pr (T > t + s)

$\Pr(T>t+s)$

Pr (T > t)

$\Pr(T>t)$

— Michael Hardy

Ne devrait-il pas s'agir de

Pr (T > t) = 1 / θ * e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = 1/\theta*e^{-t/\theta}$

— vonjd

À peu près n'importe quelle introduction à la théorie des files d'attente ou au livre sur les processus stochastiques couvrira cela, par exemple, Ross, Stochastic Processes, ou Kleinrock, Queuing Theory.

Pour un aperçu d'une preuve que les arrivées sans mémoire conduisent à une dist exponentielle:

Soit G (x) = P (X> x) = 1 - F (x). Maintenant, si la distribution est sans mémoire,

G (s + t) = G (s) G (t)

c'est-à-dire, la probabilité que x> s + t = la probabilité qu'il soit supérieur à s, et que, maintenant qu'il est supérieur à s, il est supérieur à (s + t). La propriété sans mémoire signifie que la deuxième probabilité (conditionnelle) est égale à la probabilité qu'un rv différent avec la même distribution> t.

Pour citer Ross:

"Les seules solutions de l'équation ci-dessus qui satisfont à toutes sortes de conditions raisonnables, (telles que la monotonie, la continuité droite ou gauche, ou même la mesurabilité), sont de la forme:"

G (x) = exp (-ax) pour une valeur appropriée de a.

et nous sommes à la distribution exponentielle.

— jbowman
source

PROJET DE PROCESSUS STOCHASTIQUES de Robert Gallager: THÉORIE DES APPLICATIONS ( rle.mit.edu/rgallager/notes.htm ) est une bonne alternative gratuite pour une introduction aux processus stochastiques, y compris une discussion sur le processus de Poisson

— Martin Van der Linden

RAFT DES PROCESSUS STOCHASTIQUES de Robert Gallager: THÉORIE DES APPLICATIONS

— Martin Van der Linden