Quel est le lien entre la fonction d'erreur et la fonction de distribution normale standard?

Si le PDF standard normal est

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

et le CDF est

F (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- x^{2} / 2} d x,

$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$

comment cela se transforme-t-il en une fonction d'erreur de ? $z$

normal-distribution cdf

— TH4454
source

johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf

— Mark L. Stone

Je l'ai vu, mais cela commence avec ERF déjà défini.

— TH4454

Eh bien, il y a une définition de erf et une définition du CDF normal. Les relations, dérivables par certains calculs de routine, sont montrées sur la façon de convertir entre eux, et comment convertir entre leurs inverses.

— Mark L. Stone,

Désolé, je ne vois pas beaucoup de détails. Par exemple, le CDF va de -Inf à x. Alors, comment l'ERF passe-t-il de 0 à x?

— TH4454

Connaissez-vous la technique de calcul du changement de variable? Sinon, apprenez à le faire.

— Mark L. Stone

Parce que cela revient souvent dans certains systèmes (par exemple, Mathematica insiste pour exprimer le CDF normal en termes de ), il est bon d'avoir un fil comme celui-ci qui documente la relation. $\text{Erf}$

Par définition, la fonction d'erreur est

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$

L'écriture de implique (car n'est pas négatif), d'où . Les points de terminaison et deviennent et . Pour convertir l'intégrale résultante en quelque chose qui ressemble à une fonction de distribution cumulative (CDF), elle doit être exprimée en termes d'intégrales qui ont des limites inférieures de , ainsi: $t^2 = z^2/2$ $t = z / \sqrt{2}$ $t$ $\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$ $t=0$ $t=x$ $z=0$ $z=x\sqrt{2}$ $-\infty$

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z = 2 (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{0} e^{- z^{2} / 2} d z) .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$

Ces intégrales sur la taille de droite sont les deux valeurs du CDF de la distribution normale standard,

Φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- z^{2} / 2} d z .

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$

Plus précisément,

Erf (x) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - Φ (0)) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - \frac{1}{2}) = 2 Φ (x \sqrt{2}) - 1.

$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$

Cela montre comment exprimer la fonction d'erreur en termes de CDF normal. La manipulation algébrique de cela donne facilement le CDF normal en termes de fonction d'erreur:

Φ (x) = \frac{1 + Erf (x / \sqrt{2})}{2} .

$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$

Cette relation (pour les nombres réels, de toute façon) est présentée dans les graphiques des deux fonctions. Les graphiques sont des courbes identiques. Les coordonnées de la fonction d'erreur à gauche sont converties en coordonnées de à droite en multipliant les coordonnées par , en ajoutant aux coordonnées , puis en divisant les coordonnées par , reflétant la relation $\Phi$ $x$ $\sqrt{2}$ $1$ $y$ $y$ $2$

Φ (x \sqrt{2}) = \frac{Erf (x) + 1}{2}

$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$

dans laquelle la notation montre explicitement ces trois opérations de multiplication, d'addition et de division.

— whuber
source

Je pense que est la bonne façon de les relier, en considérant la moyenne et l'écart type.

Φ (x, μ, σ) = \frac{1}{2} (1 + Erf (\frac{x - μ}{σ \sqrt{2}}))

$\Phi(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{2}\left( 1+\text{Erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right)\right)$

— Foad