La transformation monotone inversible d'un intervalle de confiance vous donne-t-elle un intervalle de confiance (au même niveau) dans l'espace transformé?

Supposer

(a, b)

$(a,b)$

est un intervalle de confiance de niveau pour un paramètre . Supposons que est une transformation inversible monotone. Alors c'est $(1-\alpha)$ $\theta$ $\eta$

(η (a), η (b))

$\left (\eta(a), \eta(b) \right )$

un intervalle de confiance de niveau pour ? Supposons que le paramètre et les points de terminaison de l'intervalle de confiance sont tous des nombres réels. $(1-\alpha)$ $\eta(\theta)$

La réponse semble intuitivement être "Oui" pour des raisons similaires à la raison pour laquelle vous pouvez transformer des variables aléatoires en faisant des choses comme, si , alors $Y = g(X)$

P (Y \leq y) = P (g (X) \leq y) = P (X \leq g^{- 1} (y))

$P( Y \leq y ) = P( g(X) \leq y ) = P(X \leq g^{-1}(y) )$

Pourrait également être lié au théorème de la cartographie continue, tel qu'il est appliqué aux MLE.

Ce n'est pas des devoirs et vient dans le contexte de savoir si je peux ou non obtenir un 95% pour les cotes du journal, puis le transformer en arrière et l'appeler un 95% pour la probabilité.

Merci

confidence-interval

— Impertinent
source

Selon la définition de l'intervalle de confiance, (avec et considérés comme des variables aléatoires). Alors, comment sont et ?

Pr (θ \in (a, b)) = 1 - α

$\Pr(\theta\in (a,b))=1-\alpha$

a

$a$

b

$b$

Pr (θ \in (a, b))

$\Pr(\theta\in (a,b))$

Pr (η (θ) \in (η (a), η (b)))

$\Pr(\eta(\theta)\in (\eta(a),\eta(b)))$

— whuber

Je pense qu'au moment où vous écrivez une définition formelle de "monotone", vous verrez la solution.

— whuber

Appliquez ce que vous venez d'écrire à et à pour conclure l'ensemble de valeurs pour lesquelles est également l'ensemble de valeurs pour lequel . Si vous calculez la probabilité d'exactement le même sous-ensemble de valeurs dans chaque cas ... les probabilités doivent sûrement être les mêmes. [Si vous pouvez le voir pour le cas , qu'est-ce qui est différent maintenant?]

b > X

$b>X$

X > a

$X>a$

a < X < b

$a<X<b$

η (a) < η (X) < η (b)

$\eta(a) < \eta(X) < \eta(b)$

X

$X$

η (X) = X^{2}

$\eta(X)=X^2$

— Glen_b -Reinstate Monica

Le problème peut survenir en raison de la façon dont vous interprétez l'IC résultant. Si vous prenez un CI pour une moyenne et le transformez, c'est toujours un CI valide, mais ce n'est pas un CI pour la moyenne sur l'échelle transformée, c'est un CI pour une moyenne transformée (une chose très différente). .eg si je prends des logs, ajuste un modèle trouve un CI pour la moyenne sur l'échelle logarithmique, je peux retransformer cet intervalle très heureusement, mais ce n'est pas un CI pour la moyenne sur l'échelle originale non enregistrée , mais un CI pour l'exponentiated moyenne des journaux ..

— Glen_b -Reinstate Monica

Veuillez répondre à votre question. (Ce serait un gaspillage pour whuber ou moi-même d'avoir la réputation de répondre à une question à laquelle vous êtes en mesure de répondre.)

— Glen_b -Reinstate Monica

Oui, car

P (a < X < b) = P (η (a) < η (X) < η (b))

$P(a < X < b) = P \Big( \eta(a) < \eta(X) < \eta(b) \Big)$

pour une variable aléatoire et une fonction monotone strictement croissante, . Par un argument similaire, si est une fonction monotone strictement décroissante, alors l'intervalle transformé devient . $X$ $\eta$ $\eta$ $(\eta(b),\eta(a))$

— Impertinent
source

Je sais que OP a mentionné monotone et inversible, donc pour être complet, dites simplement strictement monotone en augmentation, sinon cela ne sera pas vrai.

— Alex R.