Le théorème de Slutsky est-il toujours valide lorsque deux séquences convergent toutes les deux vers une variable aléatoire non dégénérée?

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Je suis confus au sujet de certains détails sur le théorème de Slutsky :

Soit , deux séquences d'éléments aléatoires scalaires / vectoriels / matriciels. $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$

Si converge en distribution vers un élément aléatoire et converge en probabilité vers une constante , alors condition que soit inversible, où dénote la convergence dans la distribution. $X_n$ $X$ $Y_n$ $c$
$\begin{aligned} X_{n} + Y_{n} & \overset{d}{\to} X + c \\ X_{n} Y_{n} & \overset{d}{\to} c X \\ X_{n} / Y_{n} & \overset{d}{\to} X / c, \end{aligned}$ $\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$ $c$ ${\xrightarrow {d}}$

Si les deux séquences du théorème de Slutsky convergent toutes les deux vers une variable aléatoire non dégénérée, le théorème est-il toujours valide, et sinon (quelqu'un pourrait-il fournir un exemple?), Quelles sont les conditions supplémentaires pour le rendre valide?

— Nicolas H
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Le théorème de Slutsky ne s'étend pas à deux séquences convergeant en distributions vers une variable aléatoire. Si converge dans la distribution à , peut bien ne pas converger ou peut converger vers quelque chose d' autre que . $Y_n$ $Y$ $X_n+Y_n$ $X+Y$

Par exemple, si pour tous « s, ne converge pas à la différence de deux véhicules récréatifs avec la même répartition que . $Y_n=-X_n$ $n$ $X_n+Y_n$ $X$

Un autre contre-exemple est que, lorsque les séquences et sont indépendantes et convergent toutes les deux en distribution vers une variable normale , si l'on définit et , puis Voir la réponse de Davide pour plus de détails sur cet exemple. $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$ $\text{N}(0,1)$ $X_1\sim\text{N}(0,1)$ $X_2=-X_1$

\begin{aligned} X_{n} & \overset{d}{\to} X_{1} \\ Y_{n} & \overset{d}{\to} X_{2} \\ X_{n} + Y_{n} & ⧸ \overset{d}{\to} X_{1} + X_{2} = 0 \end{aligned}

$\eqalign{X_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_1\\Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_2\\X_{n}+Y_{n}\ &\not{{\xrightarrow {d}}}\ X_1+X_2=0}$

— Xi'an
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Pour que cela se prolonge, vous avez besoin de quelque chose de plus, comme l'indépendance.

— kjetil b halvorsen

Ai-je raison de penser que si les deux séquences convergent à la place vers une constante, Slutsky s'applique toujours parce qu'une constante est un cas spécial (dégénéré) d'un VR?

— demi-passe du

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@ demi-passe: c'est correct.

— Xi'an

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Supposons que est un vecteur centré gaussien dont la matrice de covariance est avec . Définissez et pour . Puis et , où et sont une variable aléatoire normale standard. Cependant, est gaussien, centré et sa variance est . Puisque rien n'est connu sur la distribution de , nous ne pouvons pas affirmer que dans la distribution. $(X_0,Y_0)$ $\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$ $|\rho|\leqslant 1$ $X_n:=X_0$ $Y_n:=Y_0$ $n\geqslant 1$ $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X$ $Y$ $X_n+Y_n$ $2+2\rho$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

Cet exemple montre que nous pouvons avoir en général et dans la distribution, mais si nous n'avons pas d'informations sur la distribution de , la convergence peut échouer. $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

Bien sûr, tout va bien si dans la distribution (par exemple si est indépendant de et de En général, nous ne pouvons affirmer que la séquence est serré (c'est-à-dire que pour chaque positif , on peut trouver tel que ). Cela implique que nous pouvons trouver une suite croissante d'entiers telle que converge dans la distribution à une variable aléatoire . $(X_n,Y_n)\to (X,Y)$ $X_n$ $Y_n$ $X$ $Y$ $(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\varepsilon$ $R$ $\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $Z$

Proposition. Il existe des séquences de variables aléatoires gaussiennes et telles que pour tout , nous pouvons trouver une séquence croissante d'entiers tel que converge en distribution vers . $(X_n)_{n\geqslant 1}$ $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\sigma\in [0,2]$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $N(0,\sigma^2)$

Preuve. Considérons une énumération de nombres rationnels de et une bijection . Pour , définissez comme un vecteur gaussien centré de matrice de covariance . Avec ce choix, on peut voir que la conclusion de la proposition est satisfaite lorsque est rationnel. Utilisez un argument d'approximation pour le cas général. $(r_j)$ $[-1,1]$ $\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$ $n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$ $(X_n,Y_n)$ $\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$ $\sigma$

— Davide Giraudo
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