Topologies pour lesquelles l'ensemble des distributions de probabilité est complet

J'ai eu beaucoup de mal à concilier ma compréhension intuitive des distributions de probabilités avec les propriétés étranges que possèdent presque toutes les topologies sur les distributions de probabilités.

Par exemple, considérons une variable aléatoire de mélange : choisissez une gaussienne centrée sur 0 avec la variance 1, et avec la probabilité , ajoutez au résultat. Une séquence de ces variables aléatoires convergerait (faiblement et en variation totale) vers une gaussienne centrée sur 0 avec la variance 1, mais la moyenne de est toujours et les variances convergent vers . Je n'aime vraiment pas dire que cette séquence converge à cause de cela. $X_n$ $\frac{1}{n}$ $n$ $X_n$ $1$ $+\infty$

J'ai mis un certain temps à me souvenir de tout ce que j'avais oublié sur les topologies, mais j'ai finalement compris ce qui m'était si insatisfaisant à propos de tels exemples: la limite de la séquence n'est pas une distribution conventionnelle. Dans l'exemple ci-dessus, la limite est un "gaussien étrange de moyenne 1 et de variance infinie". En termes topologiques, l'ensemble des distributions de probabilité n'est pas complet sous le faible (et la télévision, et toutes les autres topologies que j'ai examinées).

Je suis alors confronté à la question suivante:

existe-t-il une topologie telle que l'ensemble des distributions de probabilité soit complet?
Si non, cette absence reflète-t-elle une propriété intéressante de l'ensemble des distributions de probabilité? Ou est-ce simplement ennuyeux?

Remarque: J'ai formulé ma question sur les "distributions de probabilité". Ceux-ci ne peuvent pas être fermés car ils peuvent converger vers des Diracs et des trucs comme ceux qui n'ont pas de pdf. Mais les mesures ne sont toujours pas fermées sous la topologie faible donc ma question reste

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— Guillaume Dehaene
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Vous avez découvert que l'ensemble de toutes les distributions de probabilité n'est pas très compact . Je pense que la compacité est le mot dont vous avez besoin, pas l'exhaustivité. Le concept pertinent de compacité dans ce cadre est souvent appelé étanchéité . Voir par exemple stats.stackexchange.com/questions/180139/…

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen Je pense qu'il est précompact au lieu de compact dû au théorème de Skorohod.

— Henry.L

Quel est exactement le problème avec l'exemple donné? Est-ce que la convergence (faible, disons) n'implique pas la convergence des moments? Pourquoi cela? Et qu'est-ce que cela a à voir avec l'exhaustivité (la limite existe dans l'exemple donné)?

— Michael

En examinant la question sous un angle statistique plus étroit (la question topologique mathématique générale est valable), le fait que la séquence des moments ne converge pas vers les moments de la distribution limite est un phénomène bien connu. En principe, cela ne met pas automatiquement en doute l'existence d'une distribution limitative bien conduite de la séquence.

La distribution limite de la séquence ci-dessus est une distribution bien comportée à moments finis. C'est la séquence des moments qui ne converge pas. Mais c'est une séquence différente , une séquence composée de fonctions de nos variables aléatoires (intégrales, densités et autres), et non la séquence des variables aléatoires elles-mêmes dont la distribution limite nous intéresse. $\{X_n + n Bern(1/n)\}$ $N(0,1)$

— Alecos Papadopoulos
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Comment cela répond-il à la question?

— whuber

@whuber Eh bien, ma réponse dit que s'il existe ou non une topologie telle que demandée par l'OP, cela ne fait pas beaucoup de différence d'un point de vue statistique.

— Alecos Papadopoulos