Peut-on calculer l'autocorrélation de matrices de covariance échantillonnées par MCMC?

Imaginez que nous échantillonnons une matrice de covariance à partir d'une distribution de Wishart par MCMC.

À chaque itération, nous obtenons une nouvelle matrice d'échantillon $S_i$ de la distribution Wishart.

Question : Compte tenu de la trace qui contient tous les échantillons$S_1,...S_n$, puis-je tracer l'autocorrélation de ces échantillons?

J'ai vu quelqu'un utiliser l'autocorrélation de $\log(\det(S))$, mais je n'ai trouvé aucune justification.

À mon avis, lorsque vous dessinez matrices partir d'une distribution Wishart, vous dessinez vraiment des variables aléatoires univariées spécifiquement liées à chaque pas de temps. C'est-à-dire que seule la partie de tout [= la partie triangulaire supérieure] est aléatoire, et la symétrie vous donne le reste. En d'autres termes, l'autocorrélation est définie par paire pour deux entrées quelconques des vecteurs et pour tout . Bien sûr, cela vous laisse avec un nombre potentiellement infaisablement élevé de$p \times p$$S_1, S_2, \dots S_n$$p\cdot (p+1)/2$$\text{vech}(S_i)$$S_i$$p\cdot (p+1)/2$$\text{vech}(S_i)$$\text{vech}(S_{i-h})$$h>0$$(p\cdot (p+1)/2)^2$des autocorrélations univariées à suivre, et puisque les entrées de chaque seront corrélées les unes aux autres (voir par exemple la définition donnée via les tirages d'une normale ici: https://en.wikipedia.org/ wiki / Wishart_distribution ), je pourrais bien imaginer que vous jetez des informations en faisant cette analyse univariée. Cela étant dit, les autocorrélations univariées peuvent être calculées en entrée en définissant d'abord Clairement,$\text{vech}(S_i)$

$$\begin{align} \bar{S} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{vech}(S_i) \\ \bar{S_h} & = \frac{1}{n-h}\sum_{i=h+1}^n \text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T. \end{align}$$ $\bar{S}$est un estimateur naturel pour la partie triangulaire supérieure de l'attente (que vous pouvez remplacer par l'attente réelle de votre distribution de Wishart si elle vous est connue). De même, est un estimateur naturel pour le moment . Enfin, notant que on arrive aux estimations d'autocorrélation pour via Comme mentionné précédemment, cela vous donne la$\bar{S}_h$$\mathbb{E}(\text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T)$ $$\begin{align} \text{Cov}(\text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T) = \mathbb{E}(\text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T) - \mathbb{E}(\text{vech}(S_i))\mathbb{E}(\text{vech}(S_i))^T, \end{align}$$ $A(h)$$\text{vech}(S_i)$ $$\begin{align} A(h) &= \bar{S}_h - \bar{S}\bar{S}^T. \end{align}$$ $(p\cdot (p+1)/2)^2$ autocorrélations de chaque entrée de matrice Wishart avec l'autre entrée de matrice Wishart. Si c'est trop d'informations à afficher, je pense qu'une stratégie que vous pourriez adopter serait de définir la série temporelle univariée c'est-à-dire que vous prenez simplement la moyenne de la valeur absolue de l'autocorrélation. Si vous ne vous souciez que des autocorrélations positives et ne pensez pas qu'une autocorrélation négative est nuisible, alors épargnez-vous De même, si vous pensez que l'autocorrélation le long de la diagonale est pire que hors de la diagonale ou , vous pouvez ajouter des poids $$\begin{align} a(h) &= \frac{1}{(p\cdot (p+1)/2)^2}\sum_{i=1}^{(p\cdot (p+1)/2}\sum_{j=1}^{(p\cdot (p+1)/2}|A(h)_{ij}|, \end{align}$$ $w_{ij}$ qui tiennent compte de cette «fonction de perte».