Le document d'origine de Wedderburn en 74 est une excellente lecture concernant le sujet de la quasi-probabilité. En particulier, il a observé que pour les familles exponentielles régulières, les solutions aux équations de vraisemblance ont été obtenues en résolvant une équation de score générale de la forme:
0 = ∑i = 1nS (β, Xje, Yje) = DTW( O- g- 1( XTβ) )
Où
D = ∂∂βg- 1( XTβ) et
W= V- 1. Cette notation trouve son origine dans les travaux de McCullogh et Nelder dans le texte d'origine, "
Modèles linéaires généralisés ". M&N décrit la résolution de ces types de fonctions à l'aide de l'algorithme de type Gauss Newton.
Fait intéressant, cependant, cette formulation a écouté un estimateur de type méthode des moments où l'on pourrait simplement trier "définir la chose qu'ils veulent estimer" dans l'ERS de l'expression entre parenthèses, et croire que l'expression convergerait vers "cet intéressant chose". C'était une forme proto d'estimation d'équations.
L'estimation des équations n'était pas un nouveau concept. En fait, des tentatives remontant aux années 1870 et au début des années 1900 pour présenter les EE correctement dérivaient des théorèmes limites des EE utilisant des extensions de Taylor, mais un manque de connexion à un modèle probabiliste était une cause de discorde parmi les critiques.
Wedderburn a montré quelques résultats très importants: l'utilisation du premier affichage dans un cadre général où l'équation du score Speut être remplacé par un quasiscore, ne correspondant à aucun modèle probabiliste, mais répondant à une question d'intérêt, a donné des estimations statistiquement convaincantes. La transformation inverse d'un score général a abouti à un qMLE général qui provient d'une vraisemblance correcte jusqu'à une constante proportionnelle. Cette constante proportionnelle est appelée "dispersion". Un résultat utile de Wedderburn est que des écarts importants par rapport aux hypothèses probabilistes peuvent entraîner des dispersions grandes ou petites.
Cependant, contrairement à la réponse ci-dessus, la quasi-probabilité a été largement utilisée. Une très belle discussion à McCullogh et Nelder porte sur la modélisation des populations de crabes fer à cheval. À la différence des humains, leurs habitudes d'accouplement sont tout simplement bizarres: de nombreux mâles peuvent affluer vers une seule femelle en "grappes" non mesurées. Du point de vue de l'écologiste, l'observation de ces grappes dépasse de loin la portée de leur travail, mais néanmoins arriver à des prédictions de la taille de la population à partir de la capture et de la remise à l'eau posait un défi important. Il s'avère que ce schéma de couplage aboutit à un modèle de Poisson avec une sous-dispersion importante, c'est-à-dire que la variance est proportionnelle, mais pas égale à la moyenne.
Les dispersions sont considérées comme des paramètres de nuisance dans le sens où nous ne basons généralement pas d'inférence sur leur valeur, et les estimer conjointement en une seule probabilité entraîne des probabilités très irrégulières. La quasi-probabilité est un domaine très utile de la statistique, surtout à la lumière des travaux ultérieurs sur les équations d'estimation généralisées .