Si et , ?

9

Ce ne sont pas des devoirs.

Soit $X$ une variable aléatoire. Si $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ et $\text{Var}[X] = 0$ , est-ce que $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ?

Intuitivement, cela semble évident, mais je ne sais pas comment je le prouverais. Je sais pertinemment que d'après les hypothèses, il s'ensuit que $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ . Donc

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$ Cela ne me mène nulle part. Je pourrais essayer

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$ Maintenant depuis

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$ , il s'ensuit que

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ également.

Mais si je devais utiliser l'égalité,

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$ alors mon instinct est que

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ , de sorte que

X \equiv k

$X \equiv k$ .

Comment pourrais-je le savoir? Je suppose une preuve par contradiction.

Si, au contraire, $X \neq k$ pour tous $X$ , puis $(X-k)^2 > 0$ et $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ pour tout $X$ . Nous avons une contradiction, donc $X \equiv k$ .

Ma preuve est-elle solide - et si oui, existe-t-il peut-être une meilleure façon de prouver cette affirmation?

probability

— Clarinettiste
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@ user777 J'ai essayé cette méthode à l'origine (comme vous pouvez le voir dans mon Équation ), mais je ne savais pas trop comment procéder.

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

— Clarinettiste

3

Je crois que l'inégalité de Chebyshev répond immédiatement à cette question.

— whuber

@whuber: au moins la déclaration de Wikipédia sur l'inégalité de Chebyshev nécessite explicitement une variance non nulle . Je ne vois pas vraiment si nous avons besoin d'une sorte de preuve élémentaire pour le cas de la variance nulle ...

— Stephan Kolassa

1

@Stephan Vous pouvez facilement mélanger dans n'importe quelle distribution non dégénérée avec une plage et appliquer l'inégalité pour montrer que pour tous et tout .

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

— whuber

6

Voici une preuve théorique de mesure pour compléter les autres, en utilisant uniquement des définitions. Nous travaillons sur un espace de probabilité . Notez que et considérez l'intégrale . Supposons que pour certains , il existe tel que sur et . Alors rapproche de d'en bas, donc par la définition standard de comme le supremum d'intégrales de fonctions simples se rapprochant d'en bas, $(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

E Y \geq \int ϵ I_{A} P (d ω) = ϵ P (A) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ ce qui est une contradiction. Ainsi, , . Terminé.

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— ekvall
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5

Prouvez cela par contradiction. Par la définition de la variance et vos hypothèses, vous avez

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

où est la densité de probabilité de . Notez que et sont pas négatifs. $f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

Maintenant, si , alors $P(X=k)<1$

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

est de mesure supérieure à zéro, et . Mais alors $k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

(un argument -style pourrait être inclus ici) et donc $\epsilon$

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x \geq \int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

et votre contradiction.

— Stephan Kolassa
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2

Qu'est-ce que ? Est-ce la même chose que as? $X \equiv k$ $X = k$

ETA: Iirc, $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

Quoi qu'il en soit, il est évident que

(X - E [X])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

Supposer

E [X - E [X])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

alors

(X - E [X])^{2} = 0 a.s.

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

La dernière étape, je crois, implique la continuité des probabilités ... ou ce que vous avez fait (vous avez raison).

Il y a aussi l'inégalité de Chebyshev :

$\forall \epsilon > 0$ ,

P (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

Bonne conversation à nouveau .

Btw pourquoi est-ce que

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

?

Il me semble que alors que $LHS = k$ $RHS = k^2$

— BCLC
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1

Oui, tu as raison. J'ai édité le post

— Clarinettiste

@Clarinetist Édité le mien aussi: P

— BCLC