Pourquoi l'IC à 95% de la médiane est-il censé être ?

Dans diverses sources (voir par exemple ici ), la formule suivante est donnée pour l'intervalle de confiance pour la médiane (en particulier dans le but de tracer des encoches sur des parcelles en boîte et moustaches):

$$95\%\ CI_{\rm median} = {\rm Median} \pm \frac{1.57\times IQR}{\sqrt{N}}$$

La constante magique me rend fou, je ne peux pas comprendre comment elle a été obtenue. Diverses approximations (par exemple, supposons que notre distribution est gaussienne et est grand) ne donnent aucun indice - j'obtiens des valeurs différentes pour la constante.$1.57$$N$

C'est facile. Si nous vérifions le papier original où les tracés à boîte et à moustaches crantés ont été introduits ( Robert McGill, John W.Tukey et Wayne A. Larsen. Variations of Box Plots, The American Statistician, Vol.32, No.1 (février, 1978), p. 12-16 ; heureusement, c'est sur JSTOR ), nous avons trouvé la section 7 où cette formule se justifie de la manière suivante:

Si l'on souhaite une encoche indiquant un intervalle de confiance de 95% pour chaque médiane, C = 1,96 serait utilisé. [Ici, C est une constante différente qui est liée à la nôtre, mais la relation exacte n'a aucune importance comme cela sera clair plus tard - IS] Cependant, comme une forme de "jauge d'écart" qui indiquerait des différences significatives au niveau de 95 pour cent était souhaitée , cela n'a pas été fait. On peut montrer que C = 1,96 ne serait approprié que si les écarts-types des deux groupes étaient très différents. S'ils étaient presque égaux, C = 1,386 serait la valeur appropriée, 1,96 entraînant un test beaucoup trop strict (bien au-delà de 99%). Une valeur entre ces limites, C = 1,7, a été choisie empiriquement comme préférable. Ainsi, les encoches utilisées ont été calculées comme$M \pm 1.7(1.25R/1.35 \sqrt{N})$ .

L'accent est à moi. Notez que , qui est votre nombre magique.$1.7\times 1.25/1.35=1.57$

Donc, la réponse courte est: ce n'est pas une formule générale pour l'IC médian mais un outil particulier pour la visualisation et la constante a été choisie empiriquement pour atteindre un objectif particulier.

Il n'y a pas de magie.

Pardon.