Quelle est la relation entre l'événement et la variable aléatoire?

On m'a dit qu'un événement n'est qu'une variable aléatoire qui a été affectée et que les variables aléatoires sont une généralisation des événements. Cependant, je ne peux pas relier cela à la définition d'un événement en tant que sous-ensemble de l'espace échantillon . De plus, un événement peut se produire ou non, alors qu'une variable aléatoire peut avoir plusieurs résultats.

Les événements sont-ils comme des variables aléatoires binaires? Si c'est le cas, alors chaque résultat d'une variable aléatoire est-il vraiment un événement?

J'ai également besoin de savoir comment les deux concepts sont liés l'un à l'autre en termes d'indépendance conditionnelle.

Que l'expérience soit donnée par où est l'espace échantillon, est l'ensemble de tous les événements (sous-ensembles de auxquels nous attribuons une probabilité) et est la mesure de probabilité. Les points de sont notés , et sont les "événements élémentaires" (ou "résultats"). Les variables aléatoires de cette expérience sont des fonctions et sont écrites comme , ce qui signifie que leur valeur est déterminée par le résultat élémentaire .$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} (\mathbb{X},\mathbb{B}, \P)$$\mathbb{X}$$\mathbb{B}$$\mathbb{X}$$\P$$\mathbb{X}$$\omega$$f \colon \mathbb{X}\mapsto \mathbb{R}$$f(\omega)$$\omega$

Correspond à l'événement est la variable aléatoire indicateur Dans ce sens, les événements peuvent être incorporés comme un sous-ensemble de l'ensemble de toutes les variables aléatoires définies pour cette configuration expérimentale . Alors la probabilité d' occurrence de peut être écrite comme une attente $A$

À la question supplémentaire dans les commentaires: Si et sont indépendants (en tant ), alors et sont indépendants (en tant que variables aléatoires). "peut-on dire que I_A = 1 et I_B = 1 sont indépendants?" Eh bien, est simplement l'événement , donc je pense que vous pouvez répondre maintenant!$A$$B$$I_A$$I_B$$I_A=1$$A$

Oui, les événements sont comme des variables aléatoires booléennes (vous avez dit binaire mais je suppose que c'est ce que vous voulez dire) ou plus précisément pour chaque événement, il existe une variable aléatoire booléenne correspondante. Différentes communautés utilisent une terminologie légèrement différente (fonction d'indicateur, fonction caractéristique, prédicat) pour la même chose, et le type de sortie peut être$\{0,1\}$ ou $\{False, True\}$.

Vous avez soulevé le point:

un événement peut se produire ou non alors qu'une variable aléatoire peut avoir plusieurs résultats.

Je pense que les textes de probabilité ne font souvent pas assez pour décrire pourquoi les axiomes de probabilité sont tels qu'ils sont, alors je vais y donner un coup de main:

Supposons que vous inventiez les fondements de la théorie des probabilités. Votre premier coup de couteau pourrait être de dire qu'il existe un ensemble de façons possibles pour le monde:$X$, et une sorte de fonction qui attribue des probabilités à chacune de ces possibilités $f: X \to [0,1]$. Par exemple, nous pourrions dire que$X$ est l'ensemble des nombres 1 à 6 d'un jet de dé et $f(x) = 1/6$.

Bientôt, vous trouveriez cela un peu restrictif parce que vous voulez parler de sous-ensembles de mondes possibles, c'est-à-dire si le jet de dé est supérieur à 3. Donc, vous ajustez votre théorie et attribuez plutôt des probabilités aux ensembles $\mu: \mathcal{P}(X) \to [0,1]$ où $\mathcal{P}$désigne l'ensemble de tous les sous-ensembles. Chacun de ces sous-ensembles que vous appelez un événement, et quand vous dites qu'un événement s'est produit, ce que vous voulez vraiment dire, c'est que le monde réel s'est avéré être l'un des mondes possibles dans cet événement. $\mu$ ne peut pas simplement attribuer des probabilités à des ensembles de manière arbitraire, il doit être compatible avec $f$ et le bon sens.

Vous êtes presque satisfait mais vous vous rendez compte qu'il y a d'autres choses que vous souhaitez modéliser qui n'étaient pas initialement prises en compte dans $X$. Par exemple, vous voulez parler de la probabilité que le dé rebondisse trois fois. Plus généralement, en mettant votre chapeau de philosophe, vous décidez qu'il est impossible (ou du moins très difficile) de parler du monde réel, nous ne pouvons que parler de nos observations limitées à ce sujet. Donc, à la place, vous construisez un nouvel objet$\Omega$ qui représente un modèle plus riche du monde (par exemple c'est peut-être une simulation physique très précise d'un roulement de matrice, ou même de l'univers entier) mais vous n'êtes autorisé à en parler qu'avec des variables aléatoires.

Vous pouvez maintenant définir à la place $X$ comme variable aléatoire (une fonction $\Omega \to \mathbb{N}$), et bien d'autres qui parlent tous de propriétés d'intérêt. Pour chaque ensemble de résultats d'une variable aléatoire (un seul résultat n'étant qu'un cas spécial), il existe toujours un ensemble correspondant de mondes possibles (sous-ensemble de$\Omega$), l'événement.

Aux fins de compréhension, nous nous limiterons à des espaces d'échantillonnage finis.

Tout d'abord en réponse à votre question, non, le résultat d'une variable aléatoire n'est pas un événement. Une variable aléatoire prend en entrée un élément de l'espace échantillon et produit un nombre réel.

Par exemple, supposons que nous tirions une balle d'une urne ayant 3 boules étiquetées A, B et C. L'espace d'échantillonnage de toutes les boules dans l'urne est S = {A, B, C}. Il y a 8 événements possibles: {}, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C}. L'événement {B, C} signifie que la balle tirée est soit B soit C.

Une variable aléatoire est une fonction à valeur réelle sur l'espace échantillon. Si la variable aléatoire X affecte 10 à A, 10 à B et 30 à C, alors si A est tiré, la valeur réalisée de X est 10, un nombre réel, pas un événement.

Si x est un nombre, l'événement correspondant à X = x est l'ensemble des éléments d'espace échantillon qui sont mappés par X à x. Dans l'exemple actuel, l'événement correspondant à X = 10 est {A, B} car A et B sont mappés à 10 et C ne l'est pas.

La relation ci-dessus entre les variables aléatoires et les événements s'étend à d'autres concepts. Par exemple, les variables aléatoires X et Y sont indépendantes si pour chaque paire de nombres réels x et y les événements X = x et Y = y sont indépendants. De même, X et Y sont conditionnellement indépendants étant donné Z si les événements X = x et Y = y sont conditionnellement indépendants étant donné l'événement Z = z.

(Je suppose ici que la question porte sur la relation entre les événements et les variables aléatoires et non sur les définitions de probabilité, d'indépendance et d'indépendance conditionnelle que nous avons supposées.)