Estimateur non biaisé pour le modèle AR (

Considérons un modèle AR ( ) (en supposant une moyenne nulle pour la simplicité): $p$

X_{t} = φ_{1} X_{t - 1} + \dots + φ_{p} X_{t - p} + ε_{t}

$x_t = \varphi_1 x_{t-1} + \dotsc + \varphi_p x_{t-p} + \varepsilon_t$

L'estimateur OLS (équivalent à l' estimateur du maximum de vraisemblance conditionnel ) pour est connu pour être biaisé, comme indiqué dans un récent fil de discussion . $\mathbf{\varphi} := (\varphi_1,\dotsc,\varphi_p)$

(Curieusement, je n'ai pu trouver le biais mentionné dans Hamilton "Time Series Analysis" ni dans quelques autres manuels de séries chronologiques. Cependant, il peut être trouvé dans diverses notes de cours et articles académiques, par exemple ceci .)

Je n'ai pas pu déterminer si l' estimateur exact du maximum de vraisemblance de AR ( ) est biaisé ou non; d'où ma première question. $p$

Question 1: Est -ce exact estimateur du maximum de vraisemblance AR ( ) paramètres autorégressifs du modèle biaisé? (Supposons que le processus AR ( ) soit stationnaire. Sinon, l'estimateur n'est même pas cohérent, car il est restreint dans la région stationnaire; voir, par exemple, Hamilton "Time Series Analysis" , p. 123.) $p$ $\varphi_1,\dotsc,\varphi_p$ $p$

Aussi,

Question 2: Existe-t-il des estimateurs sans biais raisonnablement simples?

— Richard Hardy
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Je suis assez sûr que l'estimateur ML dans un AR (p) est biaisé (l'existence de la frontière de stationnarité suggère qu'il sera biaisé) mais je n'ai pas de preuve pour vous en ce moment (la plupart des estimateurs ML sont biaisés dans cas, mais nous avons un peu plus que cela pour continuer ici). [Personnellement, je ne vois pas l'impartialité comme une propriété particulièrement utile à avoir, du moins en général - c'est comme la vieille blague sur les statisticiens qui partent à la chasse au canard. Ceteris paribus, l' avoir est mieux qu'improbable, bien sûr, mais dans la pratique, les ceteris ne sont jamais paribus . C'est un concept important cependant. ]

— Glen_b -Reinstate Monica

Je pensais que l'impartialité serait souhaitable lorsque je travaillais dans de petits échantillons, et je viens de faire face à un tel exemple . À ma connaissance, dans ce cas, l'impartialité était plus souhaitable que, disons, l'efficacité tant que l'efficacité pouvait être quantifiée.

— Richard Hardy

ϕ

$\phi$

ctd. ... Je ne pense pas (pas pour mes fins habituelles du moins, et je n'ai presque jamais vu d'argument en faveur de l'impartialité dans une situation pratique pour laquelle quelque chose de plus similaire à MMSE ne serait pas mieux). Je me soucie de savoir à quel point cette estimation est erronée - à quel point je peux être loin de la valeur réelle - et non pas à quel point le changement de moyenne est si je suis dans cette situation un million de fois de plus. La principale valeur pratique de l'élaboration du biais tend à voir si vous pouvez le réduire facilement sans que la variance ait un impact important.

— Glen_b -Reinstate Monica

Bon argument, merci. J'y penserai plus.

— Richard Hardy

Ce n'est bien sûr pas une réponse rigoureuse à votre question 1, mais puisque vous avez posé la question en général, la preuve d'un contre-exemple indique déjà que la réponse est non.

Voici donc une petite étude de simulation utilisant une estimation de ML exacte de arima0pour affirmer qu'il y a au moins un cas où il y a un biais:

reps <- 10000
n <- 30
true.ar1.coef <- 0.9

ar1.coefs <- rep(NA, reps)
for (i in 1:reps){
  y <- arima.sim(list(ar=true.ar1.coef), n)
  ar1.coefs[i] <- arima0(y, order=c(1,0,0), include.mean = F)$coef
}
mean(ar1.coefs) - true.ar1.coef

— Christoph Hanck
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-1

Il se trouve que je lis le même livre que vous lisez et j'ai trouvé la réponse à vos deux questions.

Le biais des bêtas d'autorégression est mentionné dans le livre à la page 215.

Le livre mentionne également un moyen de corriger le biais à la page 223. La façon de procéder consiste à adopter une approche itérative en deux étapes.

J'espère que cela t'aides.

— habitant du nord
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— Alexis