Intervalles de confiance pour ECDF

L'inégalité Dvoretzky – Kiefer – Wolfowitz est la suivante:

$Pr(\text{sup}|\hat{F}_n(x)-F(x)|>\epsilon)\leq 2\exp(-2n\epsilon^2)$ ,

et il prédit à quel point une fonction de distribution déterminée empiriquement sera proche de la fonction de distribution à partir de laquelle les échantillons empiriques sont tirés. En utilisant cette inégalité, nous pouvons tracer des intervalles de confiance (IC) autour de (ECDF). Mais ces CI seront égaux en distance autour de chaque point de l'ECDF.$\hat{F}_n(x)$

Ce que je me demande, est-il une autre façon de construire un CI autour de l'ECDF?

En lisant les statistiques ordonnées, nous constatons que la distribution asymptotique de la statistique ordonnée est la suivante:

Maintenant, tout d'abord, que signifie l' index avec ces symboles?$np$

Question principale: pouvons-nous utiliser ce résultat, conjointement avec la méthode delta (voir ci-dessous), pour fournir des IC pour l'ECDF. Je veux dire, l'ECDF est une fonction de la statistique ordonnée, non? Mais en même temps, l'ECDF est une fonction non paramétrique, est-ce donc une impasse?

Nous savons que et $E(\hat{F}_n(x))=F(x)$$\text{Var}(\hat{F}_n(x))=\frac{F(x)(1-F(x))}{n}$

J'espère que je suis clair sur ce que je veux en venir ici et apprécie toute aide.

MODIFIER :

Méthode Delta: si vous avez une séquence de variables aléatoires satisfaisant$X_n$

,

et et sont finis, alors ce qui suit est satisfait:$\theta$$\sigma^2$

,

pour toute fonction g satisfaisant à la propriété que existe, est non nulle, et est polynomiale avec la variable aléatoire (citation wikipedia)$g′(\theta)$

Je ne vois aucun moyen d'utiliser la méthode delta, mais ...

En lisant sur la convergence de la fonction de distribution empirique, nous lisons que le théorème de la limite centrale nous donne:

$\sqrt{n}(\hat{F}_n(x)-F(x)) \rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

Nous pouvons l'utiliser pour créer différents CI autour de chaque :$\hat{F}_n(x)$

$\hat{F}_n(x) \pm 1.96\frac{\hat{F}_n(x)(1-\hat{F}_n(x))}{n}$ ,

puisque , est notre meilleure estimation de .$E(\hat{F}_n(x))=F(x)$$\hat{F}_n(x)$$F(x)$

En utilisant le code R suivant:

#confidenc ebands calculation:
sim_norm<-rnorm(100)
plot(sim_norm)
hist(sim_norm)
sim_norm_sort<-sort(sim_norm)
n = sum(!is.na(sim_norm_sort))
plot(sim_norm_sort, (1:n)/n, type = 's', ylim = c(0, 1), 
     xlab = 'sample', ylab = '', main = 'Empirical Cumluative Distribution')

# Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz inequality:
# P ( sup|F_n - F| > epsilon  ) leq 2*exp(-2n*epsilon^2)
# set alpha to 0.05 and alpha=2*exp(-2n*epsilon^2):
# --> epsilon_n = sqrt(-log(0.5*0.05)/(2*n))
#
#lower and upper bands:
L<-1:n
U<-1:n


  epsilon_i = sqrt(log(2/0.05)/(2*n))

  L=pmax(1:n/n-epsilon_i, 0)
  U=pmin(1:n/n+epsilon_i, 1)
  lines(sim_norm_sort, U, col="blue")
  lines(sim_norm_sort, L, col="blue")

#using clt:
U2=(1:n/n)+1.96*sqrt( (1:n/n)*(1-1:n/n)/n )
L2=(1:n/n)-1.96*sqrt( (1:n/n)*(1-1:n/n)/n )
lines(sim_norm_sort, L2, col="red")
lines(sim_norm_sort, U2, col="red")

On a:

Nous voyons que les bandes rouges (de la méthode CLT) nous donnent des bandes de confiance plus étroites.

EDIT : Comme l'a souligné @Kjetil B Halvorsen - ces deux types de bandes sont de types différents. J'avais @Glen_b expliquer exactement ce qu'il voulait dire:

Types de bandes de confiance très différents. Avec une bande de confiance point par point, vous vous attendriez à un certain nombre de points en dehors de la bande même si c'était la distribution à partir de laquelle les données ont été tirées. Avec des groupes simultanés, vous ne le feriez pas. Si vous avez une bande de 95% point par point, en moyenne 5% des points pour la distribution correcte seraient en dehors des bandes. Avec des bandes simultanées, il y a 5% de chances que le point avec le plus grand écart soit à l'extérieur.

Un grand merci aux deux!