Quelle est l'autocorrélation pour une marche aléatoire?

On dirait que c'est vraiment élevé, mais c'est contre-intuitif pour moi. Quelqu'un peut-il expliquer? Je suis très confus par cette question et apprécierais une explication détaillée et perspicace. Merci beaucoup d'avance!

(J'ai écrit cela en réponse à un autre post, qui était marqué comme un double de celui-ci pendant que je le composais; je me suis dit que je le posterais ici plutôt que de le jeter. On dirait qu'il dit des choses assez similaires à whuber's mais c'est juste assez différent pour que quelqu'un puisse en retirer quelque chose.)

Une marche aléatoire est de la forme$y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

Notez que$y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

D'où .$\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

Notez également que$\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

Par conséquent .$\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

C'est-à-dire que vous devriez voir une corrélation de près de 1 car dès que commence à devenir grand, et sont presque exactement la même chose - la différence relative entre eux a tendance à être assez petite.$t$$y_t$$y_{t-1}$

Vous pouvez le voir plus facilement en traçant vs .$y_t$$y_{t-1}$

Nous pouvons maintenant le voir de manière quelque peu intuitive - imaginez que a dérivé jusqu'à (comme nous le voyons dans ma simulation d'une marche aléatoire avec un terme de bruit normal standard). Alors va être assez proche de ; il peut être ou mais il est presque certain qu'il se situe à quelques unités de . Donc, alors que la série dérive de haut en bas, l'intrigue de vs va presque toujours rester dans une plage assez étroite de la ligne ... mais à mesure que grandit, les points couvriront plus et de plus grands tronçons le long de$y_{t-1}$$-20$$y_t$$-20$$-22$$-18.5$$-20$$y_t$$y_{t-1}$$y=x$$t$$y=x$ligne (la propagation le long de la ligne croît avec , mais la propagation verticale reste à peu près constante); la corrélation doit approcher 1.$\sqrt{t}$

Dans le contexte de votre question précédente , une «marche aléatoire» est une réalisation d'une marche aléatoire binomiale. L'autocorrélation est la corrélation entre le vecteur ( x 0 , x 1 , … , x n - 1 ) et le vecteur des éléments suivants ( x 1 , x 2 , … , x n$(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$.

$x_{i+1}$$x_i$$x_i$$x_0$$\sqrt{n}$$(x_i, x_{i+1})$$y=x\pm 1$$y=x$$\pm 1$$1$$(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$$R^2$

$n=1000$$R^2$$1 - 4/n$

Voici le Rcode qui a produit les images.

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))