limite de

Je me demande de montrer que la limite:

lim_{x \to \infty} x \bar{F} (x) = 0

$\lim_{x \to \infty} x\overline{F}(x) =0$ où est la fonction de distribution de queue,

, où

est la fonction de distribution cumulative

\bar{F} = 1 - F

$\overline{F} =1-F$

\bar{F} (x) = 1 - F (x)

$\overline{F}(x)=1−F(x)$

F

$F$

Comme $x \to \infty$ , $\overline{F} \to 0$ , nous avons donc une forme indéterminée, je réécris comme:

lim_{x \to \infty} \frac{\bar{F} (x)}{1 / x}

$\lim_{x \to \infty} \frac{\overline{F}(x)}{1/x}$ et utilisez la règle de L'Hôpital :

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{1 / x^{2}}

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{1/x^2}$ mais cela nécessite la connaissance de

f

$f$ comme

x \to \infty

$x \to \infty$ que je ne connais pas avoir.

Comment puis-je évaluer cette limite?

probability cdf

— dimebucker91
source

Vous devez clarifier vos hypothèses: le résultat revendiqué n'est pas vrai en général (par exemple pour Pareto), mais est valable lorsque

X

$X$ est positif

E [X] < \infty

$\mathbb{E}[X] < \infty$ . Astuce: utilisez

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X 1_{ \{X > x\} }]$ .

— Yves

@ Niticking un peu solitaire, mais la condition est en fait légèrement plus faible nécessitant une intégrabilité. Par exemple, on peut montrer

x^{p} Pr {| X | > x} \to 0

$x^p \Pr\{|X| > x\} \to 0$ implique

E [| X |^{q}] < \infty

$E[|X|^q] < \infty$ pour tout

q

$q$ strictement inférieur à

p

$p$ . Mais ce n'est pas vrai pour

q = p

$q = p$ en général. Du haut de ma tête, je pense que la densité proportionnelle à

1 / [x^{p + 1} \log x]

$1 / [x^{p+1} \log x]$ pour

x > 2

$x > 2$ donne le contre-exemple, mais j'avoue que je n'ai pas fait le calcul.

— gars

Cela est prouvé dans un article avec un nom idiot, la règle de Dark Vador à la page 2. Ce document ne traite pas exactement de votre question, mais ils y répondent.

— RayVelcoro

Réponses:

En supposant que l'espérance existe et pour des raisons de commodité que la variable aléatoire ait une densité (équivalente à ce qu'elle soit absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue), nous allons montrer que

lim_{x \to \infty} x [1 - F (x)] = 0

$\lim_{x\to\infty} x \left [1-F(x)\right]=0$

L'existence de l'attente implique que la distribution n'est pas très grossière, contrairement à la distribution de Cauchy par exemple.

Puisque l'attente existe, nous avons que

E (X) = lim_{u \to \infty} \int_{- \infty}^{u} x f (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x < \infty

$E(X)=\lim_{u\to \infty} \int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx} = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx} < \infty$

et cela est toujours bien défini. Notez maintenant que pour , $u \geq 0$

\int_{u}^{\infty} x f (x) d x \geq u \int_{u}^{\infty} f (x) d x = u [1 - F (u)]

$\int_{u}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx} \geq u \int_{u}^{\infty} f(x) \mathrm{dx} = u \left[1-F(u) \right]$

et de ces deux, il s'ensuit que

lim_{u \to \infty} [E (X) - \int_{- \infty}^{u} x f (x) d x] = lim_{u \to \infty} \int_{u}^{\infty} x f (x) d x = 0

$\lim_{u \to \infty} \left[ E(X) - \int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx} \right] = \lim_{u\to \infty} \int_{u}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx}=0$

comme à la limite le terme rapproche de l'attente. Par notre inégalité et la non-négativité de l'intégrale alors, nous avons notre résultat. $\int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx}$

J'espère que cela t'aides.

— JohnK
source

Merci (+1). Relâcher l'hypothèse: lorsque, par exemple, est une distribution de Cauchy, alors la valeur limite de est , et non zéro. Pour les distributions de Student avec paramètre inférieur à ( désigne le Cauchy), cette limite est infinie.

F

$F$

x (1 - F (x))

$x(1-F(x))$

1 / π

$1/\pi$

t

$t$

1

$1$

1

$1$

— whuber

Pour toute variable aléatoire non négative , nous avons (voir (21.9) la probabilité et la mesure de Billingsley ): Pour , remplacer par mène de à $Y$

\begin{matrix} (*) & E [Y] = \int Y d P = \int_{0}^{\infty} P [Y > t] d t . \end{matrix}

$E[Y] = \int Y dP = \int_0^\infty P[Y > t] dt. \tag{*}$

M > 0

$M > 0$

Y

$Y$

X I_{[X > M]}

$XI_{[X > M]}$

(*)

$(*)$

\begin{matrix} (**) & \int X I_{[X > M]} d P = M P [X > M] + \int_{M}^{\infty} P [X > t] d t \geq M P [X > M] . \end{matrix}

$\int XI_{[X > M]} dP= MP[X > M] + \int_M^\infty P[X > t] dt \geq MP[X > M]. \tag{**}$

Supposons que soit intégrable (c'est-à-dire ), puis le côté gauche de converge vers comme , par le théorème de convergence dominé. Il s'ensuit alors que Par conséquent, le résultat suit. $X$ $E[|X|]< \infty$ $(**)$ $0$ $M \to \infty$

0 \geq \underset{M \to \infty}{lim sup} M P [X > M] \geq \underset{M \to \infty}{lim inf} M P [X > M] \geq 0.

$0 \geq \limsup_{M \to \infty} MP[X > M] \geq \liminf_{M \to \infty} MP[X > M] \geq 0.$

Remarque: Cette preuve utilise une théorie de mesure, qui je pense est valable car la preuve supposant l'existence de densités ne traite pas d'une classe majoritaire de variables aléatoires, par exemple, des variables aléatoires discrètes telles que binomiale et Poisson.

— Zhanxiong
source

La preuve n'exige pas vraiment que soit intégrable, mais seulement que soit tel pour un fini , donc peut avoir une queue gauche lourde. L'identité du livre de Billingsley n'est pas vraiment nécessaire d'autre puisque tend vers pour avec une probabilité.

X

$X$

X 1_{{X > x_{0}}}

$X 1_{ \{X > x_0\}}$

x_{0}

$x_0$

X

$X$

X 1_{{X > x}}

$X 1_{ \{X > x\}}$

0

$0$

x \to \infty

$x \to \infty$

— Yves

@ Yves @ guy Oui, bon point. L'intégrabilité n'est qu'une condition suffisante mais jamais nécessaire. Cependant, ce pourrait être la condition la plus succincte et la plus normale imposée pour dériver la relation demandée par OP.

— Zhanxiong

D'ACCORD. Alternative succincte: .

E (X_{+}) < \infty

$\mathbb{E}(X_+) < \infty$

— Yves

@Yves Bien sûr :)

— Zhanxiong