Pourquoi une matrice de projection d'une projection orthogonale est-elle symétrique?

Je suis assez nouveau dans ce domaine, j'espère donc que vous me pardonnerez si la question est naïve. (Contexte: j'apprends l'économétrie à partir du livre de Davidson & MacKinnon "Econometric Theory and Methods" , et ils ne semblent pas l'expliquer; j'ai également regardé le livre d'optimisation de Luenberger qui traite des projections à un niveau un peu plus avancé, mais sans chance).

Supposons que je suis une projection orthogonale $\mathbb P$ avec la matrice est associée projection . Je souhaite projeter chaque vecteur de dans un sous-espace . $\bf P$ $\mathbb{R}^n$ $A \subset \mathbb{R}^n$

Question : pourquoi s'ensuit-il que , c'est-à-dire que est symétrique? Quel manuel pourrais-je consulter pour ce résultat? $\bf{P}=P$ $^T$ $\bf P$

regression least-squares

— weez13
source

en.wikipedia.org/wiki/…

— whuber

Réponses:

Il s'agit d'un résultat fondamental de l'algèbre linéaire sur les projections orthogonales. Une approche relativement simple est la suivante. Si sont des vecteurs orthonormés couvrant un sous - espace de dimension , et est le matrice avec l' « s en tant que colonnes, alors Cela découle directement du fait que la projection orthogonale de sur peut être calculée en fonction de la base orthonormale de comme $u_1, \ldots, u_m$ $m$ $A$ $\mathbf{U}$ $n \times p$ $u_i$

P = U U^{T} .

$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$

x

$x$

A

$A$

A

$A$

Il découle directement de la formule cidessus que

et que

\sum_{i = 1}^{m} u_{i} u_{i}^{T} x .

$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$

P^{2} = P

$\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$

P^{T} = P .

$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

Il est également possible de donner un argument différent. Si est une matrice de projection pour une projection orthogonale, alors, par définition, pour tout Par conséquent, $\mathbf{P}$ $x,y \in \mathbb{R}^n$

P x ⊥ y - P y .

$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$

pour tout

. Cela montre que

, où

0 = (P x)^{T} (y - P y) = x^{T} P^{T} (I - P) y = x^{T} (P^{T} - P^{T} P) y

$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$

x, y \in R^{n}

$x, y \in \mathbb{R}^n$

P^{T} = P^{T} P

$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$

P = (P^{T})^{T} = (P^{T} P)^{T} = P^{T} P = P^{T} .

$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$

— NRH
source

Merci pour vos commentaires perspicaces! D'une manière ou d'une autre, l'article de Wikipédia, qui mentionnait quelque chose à propos de l'auto-adjonction de l'opérateur de projection, m'a découragé, car vos preuves ne sont pas si difficiles. :) BTW, avez-vous un texte d'algèbre linéaire préféré qui traite de ce genre de choses?

— weez13

Le livre sur l'algèbre linéaire élémentaire que je connais le mieux ne couvre pas cela. Les meilleures références que je connaisse sont des livres avancés sur l'analyse fonctionnelle. L' algèbre linéaire faite dans le bon livre semble bonne, mais je ne la connais pas.

— NRH

x = x^{T}

$x = x^T$

(P x)^{T} = x P^{T}

$(Px)^T = xP^T$

(P x)^{T} (y - P y) = x P^{T} (I - P) y

$(Px)^T(y-Py)=xP^T(I-P)y$

x = x^{T}

$x = x^T$

P

$P$

x

$x$

(P x)^{T} = x^{T} P^{T} .

$(Px)^T = x^TP^T.$

P^{T} - P^{T} P = 0

$P^T - P^TP = 0$

x = x^{T}

$x=x^T$

x \in R^{n}

$x\in\mathbb{R}^n$

n = 1

$n=1$

x

$x$

Une tentative d'intuition géométrique ... Rappelons que:

Une matrice symétrique est auto-adjointe.
Un produit scalaire est déterminé uniquement par les composantes de l' espace linéaire mutuel (et indépendant des composantes orthogonales de n'importe lequel des vecteurs).

$x$ $A$ $y$ $\langle x,Ay \rangle$ $x$ $y$ $\langle Ax,Ay \rangle$ $\langle Ax,y\rangle$

$A$

— JohnRos
source

Merci beaucoup! Avant de lire votre commentaire, j'étais assez confus quant à la raison pour laquelle l'auto-adjonction est cruciale ici. Maintenant, j'ai une idée, merci!

— weez13