Approximation

Je lisais nonchalamment un article (en économie) qui avait l'approximation suivante pour :$\log(E(X))$

,$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5 \mathrm{var}(\log(X))$

ce que l'auteur dit est exact si X est log-normal (ce que je sais).

Ce que je ne sais pas, c'est comment dériver cette approximation. J'ai essayé de calculer une approximation de Taylor de second ordre et je n'ai trouvé que cette expression:

$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5\frac{\mathrm{var}(X)}{E(X)^2}$

Par la méthode Delta , la variance d'une fonction d'un RV est approximativement égale à la variance des RV fois la dérivée au carré évaluée à la moyenne. Par conséquent

$$\mathrm{var}(\log(X)) \approx \frac{1}{ \left[E(X)\right] ^2 } \mathrm{var}(X)$$

Et voila. Votre dérivation était juste, bien sûr.