Une erreur possible dans une dérivation de probabilité conditionnelle

Ce qui suit est une dérivation d'une densité à partir d'un article que j'étudie actuellement. Désolé pour la mauvaise qualité, c'est un papier assez ancien. Je dois préciser que a la densité exponentielle standard dans , est uniforme sur et ils sont indépendants. Le coefficient de corrélation de la population est bien sûr une constante. et proviennent de la distribution normale bivariée standard, d'où la représentation trigonométrique, mais cela ne joue aucun rôle ici, je crois. $R$ $(0,\infty)$ $U$ $(0,1)$ $\rho$ $X$ $Y$

Ce que je ne comprends pas, c'est comment l'auteur parvient à ces conclusions pour positif ou négatif . Il me semble que la division par un nombre négatif et la non négativité de ne sont pas correctement prises en compte. Je peux me tromper bien sûr, je vous serais reconnaissant de vous conseiller. Je vous remercie. $t$ $R$

— JohnK
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@ Xi'an Merci pour votre commentaire. Cette représentation est dérivée du fait que avec et indépendants. Puisque la somme a la variance et la différence , alors a la même distribution que où maintenant la distribution normale standard. Ensuite, le résultat suit en mettant et , la transformée de Box-Muller et l'utlisant

X Y = [(X + Y)^{2} - (X - Y)^{2}] / 4

$XY = \left[ (X+Y)^2 -(X-Y)^2 \right]/4$

X - Y

$X-Y$

X + Y

$X+Y$

2 (1 + ρ)

$2(1+\rho)$

2 (1 - ρ)

$2(1-\rho)$

X Y

$XY$

\frac{1}{2} ((1 + ρ) Z_{1}^{2} - (1 - ρ) Z_{2}^{2})

$\frac{1}{2}\left((1+\rho)Z_1^2 -(1-\rho) Z_2 ^2 \right)$

Z_{i}

$Z_i$

Z_{1} = \sqrt{- 2 \log (U_{1}}) \cos (2 π U_{2})

$Z_1=\sqrt{-2\log(U_1})\cos(2\pi U_2)$

Z_{2} = \sqrt{- 2 \log (U_{1})} \sin (2 π U_{2})

$Z_2=\sqrt{-2\log(U_1)} \sin(2\pi U_2)$

- \log (U)

$- \log(U)$ a la distribution exponentielle standard

— JohnK

@ Xi'an Pas de problème. Diriez-vous que les étapes suivantes sont correctes, alors?

— JohnK

Je peux aussi me tromper mais ne vois aucune difficulté avec la décomposition.

Lorsque , puisque le deuxième terme est nul, étant multiplié par un terme négatif. Ainsi semble être correct. $t\ge 0$

\begin{aligned} P (R (\cos (π U) & + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \\ + P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \end{aligned}

$\begin{align*} P(R(\cos(\pi U)&+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ &=P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0) \end{align*}$

R

$R$

P (X Y \geq t) = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, U \leq \cos^{- 1} (- ϱ) / π) = \int_{0}^{\cos^{- 1} (- ϱ) / π} P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t) d u

$P(XY\ge t) = P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\quad\qquad \\ \ \ \ = P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,U\le\cos^{-1}(-\varrho)/\pi)\\ = \int_0^{\cos^{-1}(-\varrho)/\pi} P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t)\,\text{d}u$

Lorsque , puisque est toujours vrai lorsque , donc cela semble également être correct. $t\le 0$

R (\cos (π U) + ϱ) \geq t

$R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t$

\cos (π U) + ϱ \geq 0

$\cos(\pi U)+\varrho\ge 0$

\begin{aligned} P (R (\cos (π U) & + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \\ + P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + P (R (- \cos (π U) - ϱ) \leq - t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + P {R \leq t / (\cos (π U) + ϱ), U \geq \cos^{- 1} (- ϱ) / π} \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + \int_{\cos^{- 1} (- ϱ) / π}^{1} P {R \leq t / (\cos (π u) + ϱ} \end{aligned}

$\begin{align*} P(R(\cos(\pi U)&+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(-\cos(\pi U)-\varrho)\le -t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+P\left\{R\le t\big/(\cos(\pi U)+\varrho),U\ge\cos^{-1}(-\varrho)/\pi\right\}\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+\int_{\cos^{-1}(-\varrho)/\pi}^1 P\left\{R\le t\big/(\cos(\pi u)+\varrho\right\} \end{align*}$

— Xi'an
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Je pense que mon erreur a été d'inverser le cosinus, de ne pas inverser les inégalités. Merci beaucoup pour votre réponse.

— JohnK