Méthode du deuxième moment, mouvement brownien?

Soit $B_t$ un mouvement brownien standard. Soit $E_{j, n}$ désigne l'événement

{B_{t} = 0 for some \frac{j - 1}{2^{n}} \leq t \leq \frac{j}{2^{n}}},

$\left\{B_t = 0 \text{ for some }{{j-1}\over{2^n}} \le t \le {j\over{2^n}}\right\},$ et soit

K_{n} = \sum_{j = 2^{n} + 1}^{2^{2 n}} 1_{E_{j, n}},

$K_n = \sum_{j = 2^n + 1}^{2^{2n}} 1_{E_{j,n}},$ où

1

$1$ désigne la fonction d'indicateur. Existe-t-il

ρ > 0

$\rho > 0$ tel que pour

P {K_{n} \geq ρ 2^{n}} \geq ρ

$\mathbb{P}\{K_n \ge \rho2^{n}\} \ge \rho$ pour tout

n

$n$ ? Je soupçonne que la réponse est oui; J'ai essayé de déconner avec la méthode du deuxième moment, mais sans grand succès. Peut-on le montrer avec la méthode du second moment? Ou devrais-je essayer autre chose?

— Étudiant
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Premièrement, si votre somme n'est pas:

car votre événement indique que le taux de croissance de

est de

, on peut donc s'attendre à ce que votre somme ait

termes , non?

K_{n} = \sum_{j = 2^{n} + 1}^{2^{n + 1}}

$K_n = \sum_{j=2^n+1}^{2^{n+1}}$

K_{n}

$K_n$

2^{n}

$2^n$

2^{n + 1}

$2^{n+1}$

— Grant Izmirlian

Pas la réponse, mais une reformulation peut-être utile

Je suppose que le commentaire ci-dessus est juste (c'est-à-dire que la somme a termes ). $2^{n+1}$

Notons Observons que si

p_{n} (ρ) = P (K_{n} > ρ 2^{n}) = P (K_{n} / 2^{n} > ρ)

$p_n(\rho)=P(K_n>\rho 2^n)=P(K_n/2^n>\rho )$

p_{n} (ρ_{1}) > p_{n} (ρ_{2})

$p_n(\rho_1)>p_n(\rho_2)$

ρ_{1} < ρ_{2}

$\rho_1 < \rho_2$

Premier point: si vous demandez si un tel existe pour tout n, vous devez montrer que pour certains la limite est positive alors, si a une limite positive et tout les valeurs sont positives, il faut les séparer de zéro, disons . Alors $\rho$ $\delta$

lim_{n \to \infty} p_{n} (δ) > 0

$\lim_{n\rightarrow \infty} p_n(\delta)>0$

p_{n} (δ)

$p_n(\delta)$

p_{n} (δ) > ε

$p_n(\delta)>\varepsilon$

donc vous avez la propriété souhaitée pour

p_{n} (min (ε, δ)) \geq p_{n} (δ) > ε \geq min (ε, δ)

$p_n(\min(\varepsilon,\delta)) \geq p_n(\delta)>\varepsilon \geq \min(\varepsilon,\delta)$

ρ = min (ε, δ)

$\rho=\min(\varepsilon, \delta)$

Il suffit donc de montrer que la limite de est positive. $p_n$

J'examinerais ensuite la variable et sa valeur attendue $K_n/2^n$

— krzmip
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