Variable aléatoire univariée X, Y avec : sont-ils indépendants?

Soit et des variables aléatoires univariées avec CDF telles que: où , sont des fonctions connues. $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $Y:\Omega\to\mathbb{R}$ $F_{X,Y}(x,y)$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y), \forall (x, y) \in R \times R

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y),\forall (x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}$

G_{1} : R \to R

$G_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

G_{2} : R \to R

$G_2:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

Question : Est-il vrai que et sont des VR indépendants? $X$ $Y$

Quelqu'un peut-il me donner quelques indices?

J'ai essayé de: mais je ne sais pas pourquoi (ou si) .

F_{X} (x) = lim_{y \to \infty} F_{X, Y} (x, y) = lim_{y \to \infty} G_{1} (x) G_{2} (y) = G_{1} (x) \cdot lim_{y \to \infty} G_{2} (y)

$F_X(x)=\lim_{y\to\infty}F_{X,Y}(x,y)=\lim_{y\to\infty}G_1(x)G_2(y)=G_1(x)\cdot\lim_{y\to\infty}G_2(y)$

lim_{y \to \infty} G_{2} (y) = 1

$\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1$

random-variable joint-distribution

— Guilherme Salomé
source

La relation

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y)

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)$ à tous les

x

$x$ et

y

$y$ ou seulement à un

spécifique

(x, y)

$(x,y)$ ?

— Dilip Sarwate

De plus, le CDF?

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

— Vimal

Essayez-vous de savoir si savoir comment factoriser la fonction de distribution d'une variable aléatoire bivariée en un produit de fonctions de et séparément suffit pour conclure que et sont indépendants?

(X, Y)

$(X,Y)$

x

$x$

y

$y$

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

Désolé pour la confusion, je vais modifier la question maintenant. est le CDF et la propriété est valable pour tous les .

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

x, y

$x,y$

— Guilherme Salomé

lim_{y \to \infty} G_{2} (y) = 1

$\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1$ ne doit pas être vrai. Considérons et et considérons que mais les deux et ne peut pas avoir une limite de 1.

H_{1} (x) = G_{1} (x) * 0.5

$H_1(x) = G_1(x) * 0.5$

H_{2} (y) = G_{2} (y) * 2

$H_2(y) = G_2(y) * 2$

F_{X, Y} (x, y) = H_{1} (x) H_{2} (y)

$F_{X,Y}(x,y)=H_1(x)H_2(y)$

G_{1}

$G_1$

H_{1}

$H_1$

— bsdfish

Oui, il est vrai que ces hypothèses impliquent que et sont indépendants. $X$ $Y$

Simplifiez la notation en écrivant . Par définition, $F = F_{X,Y}$

F (x, y) = Pr (X \leq x, Y \leq y) .

$F(x,y) = \Pr(X \le x, Y \le y).$

Par conséquent, la limite de lorsque augmente sans limite existe et est la chance que ne dépasse pas : $F(x,y)$ $y$ $X$ $x$

F_{X} (x) = Pr (X \leq x) = lim_{y \to \infty} F (x, y) = G_{1} (x) lim_{y \to \infty} G_{2} (y) .

$F_X(x) = \Pr(X \le x) = \lim_{y\to\infty} F(x,y) = G_1(x) \lim_{y\to\infty} G_2(y).$

Choisir n'importe quel pour lequel affiche est différent de zéro. (Un tel doit exister par la loi de la probabilité totale, qui affirme que ) Ainsi $x$ $F_X(x)\ne 0$ $G_2^\infty = \lim_{y\to\infty}G_2(y)$ $x$ $\lim_{x\to\infty}F_X(x)=1$

G_{1} (x) = \frac{F_{X} (x)}{G_{2}^{\infty}}

$G_1(x) = \frac{F_X(x)}{G_2^\infty}$

pour tous . Échanger les rôles de et et utiliser une notation analogue, $x$ $X$ $Y$

G_{2} (y) = \frac{F_{Y} (y)}{G_{1}^{\infty}}

$G_2(y) = \frac{F_Y(y)}{G_1^\infty}$

pour tous . Prendre la limite commune à mesure que et grandissent sans spectacle lié $y$ $x$ $y$

1 = lim_{x, y \to \infty} F (x, y) = G_{1}^{\infty} G_{2}^{\infty} .

$1 = \lim_{x,y\to\infty} F(x,y) = G_1^\infty G_2^\infty.$

Donc

F (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) = \frac{F_{X} (x) F_{Y} (y)}{G_{1}^{\infty} G_{2}^{\infty}} = F_{X} (x) F_{Y} (y),

$F(x,y) = G_1(x)G_2(y) = \frac{F_X(x)F_Y(y)}{G_1^\infty G_2^\infty} = F_X(x)F_Y(y),$

démontrant et sont indépendants. $X$ $Y$

— whuber
source

La chose curieuse est que et peuvent tous deux être des fonctions à valeur négative avec, par exemple, et et tout sera encore travailler sur OK.

G_{1} (\cdot)

$G_1(\cdot)$

G_{2} (\cdot)

$G_2(\cdot)$

G_{1}^{\infty} = - 2

$G_1^\infty = -2$

G_{2}^{\infty} = - \frac{1}{2}

$G_2^\infty = -\frac 12$

— Dilip Sarwate du

@DilipSarwate: ce n'est pas très curieux en ce que, si satisfait la relation, il en va de même pour , vous pouvez donc supposer en toute sécurité que et ont une valeur positive. De même, si satisfait la relation, il en va de même , pour tout .

(G_{1}, G_{2})

$(G_1,G_2)$

(- G_{1}, - G_{2})

$(-G_1,-G_2)$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

(G_{1}, G_{2})

$(G_1,G_2)$

(α G_{1}, α^{- 1} G_{2})

$(\alpha G_1,\alpha^{-1} G_2)$

α \in R^{*}

$\alpha\in\mathbb{R}^*$

— Xi'an

@ Xi'an, je comprends parfaitement bien. Je voulais juste souligner (puisque l'OP se demandait comment montrer que avait la valeur limite comme signifiant qu'il voulait et ) que la factorisation implique que et sont indépendants sans qu'il soit nécessairement vrai que pour tout ; pour tous les fonctionne aussi bien.

G_{2} (y)

$G_2(y)$

1

$1$

y \to \infty

$y\to\infty$

G_{1} = F_{X}

$G_1=F_X$

G_{2} = F_{Y}

$G_2=F_Y$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) \forall x, y

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)~\forall~x,y$

X

$X$

Y

$Y$

G_{1} (x) \geq 0, G_{2} (y) \geq 0

$G_1(x) \geq 0, G_2(y) \geq 0$

x, y

$x, y$

G_{1} (x) \leq 0, G_{2} (y) \leq 0

$G_1(x) \leq 0, G_2(y) \leq 0$

x, y

$x, y$

— Dilip Sarwate du

@Dilip Le pourrait même avoir des valeurs complexes si vous aimez :-).

G_{i}

$G_i$

— whuber

@KiranK. La question posée est "Si un CDF commun peut être exprimé par , alors et indépendants? " à laquelle la réponse est oui, et cela demande un peu de travail pour le montrer. Il n'est pas affirmé que et sont des CDF valides; si vous insistez pour inclure cette affirmation, la réponse est trivialement oui parce que l'une des définitions de RV indépendant est que le CDF commun entre dans le produit des CDF marginaux.

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) \forall x, y

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)~\forall x,y$

X

$X$

Y

$Y$

G_{1} (x)

$G_1(x)$

G_{2} (y)

$G_2(y)$

— Dilip Sarwate,