Comment calculer la valeur attendue d'une distribution normale standard?

Je voudrais apprendre à calculer la valeur attendue d'une variable aléatoire continue. Il semble que la valeur attendue est

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} X F (X) ré X

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\mathrm{d}x$ où

f (x)

$f(x)$ est la fonction de densité de probabilité de

X

$X$ .

Supposons que la fonction de densité de probabilité de soit $X$ qui est la densité de la distribution normale standard.

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}$

Donc, je voudrais d'abord brancher le PDF et obtenir qui est une équation d'aspect plutôt désordonné. La constante

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x$

peut être déplacé en dehors de l'intégrale, donnant

\frac{1}{\sqrt{2 π}}

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x .

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x.$

Je suis coincé ici. Comment calculer l'intégrale? Suis-je en train de faire ça correctement jusqu'à présent? Est-ce le moyen le plus simple d'obtenir la valeur attendue?

random-variable pdf expected-value

— mmh
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le titre de votre question est trompeur. Vous essayez en fait de calculer la valeur attendue d'une variable aléatoire normale standard. Vous pouvez également calculer la valeur attendue d'une fonction d'un VR. Je préfère mettre le titre: "Comment calculer la valeur attendue d'une distribution normale standard." Ou "Comment calculer la valeur attendue d'une variable aléatoire continue."

— Gumeo

@ GuðmundurEinarsson corrigé.

— mmh

"Je suis coincé ici. Comment puis-je calculer l'intégrale?" Trouver la dérivée de

. (Non, je ne suis pas facétieux et je ne vous suggère pas un travail inutile; je suis mortellement sérieux; faites-le!). Ensuite, regardez très attentivement le dérivé que vous avez trouvé.

- e^{- \frac{x^{2}}{2}}

$-e^{-\frac{x^2}{2}}$

— Dilip Sarwate

Réponses:

Vous y êtes presque, suivez votre dernière étape:

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} / 2} d (- \frac{x^{2}}{2}) = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} ∣_{- \infty}^{\infty} = 0

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\displaystyle\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}d(-\frac{x^2}{2})\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\mid_{-\infty}^{\infty}\\=0$

Ou vous pouvez directement utiliser le fait que est une fonction impaire et les limites de l'intégrale sont symétrie. $xe^{-x^2/2}$

— Deep North
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L'argument de symétrie ne fonctionne que si les deux moitiés sont elles-mêmes convergentes.

— Glen_b -Reinstate Monica

Pourriez-vous expliquer ce qui se passe au deuxième rang?

— mmh

Le commentaire de Glen est correct s'il n'est pas convergent, alors le changement de variables ne fonctionnera pas

— Deep North

La deuxième ligne est égale à la première depuis

noter également le signe négatif au début. Ensuite, vous pouvez penser à un changement de variable pour l'intégration, puis vous le changez en arrière car les limites n'ont pas changé. Ou vous pouvez utiliser l'intégration par pièces. Et rappelez-vous

d (- \frac{x^{2}}{2}) = - x d x

$d(-\frac{x^2}{2})=-xdx$

\int_{a}^{b} e^{y} d y = e^{y} ∣_{a}^{b}

$\int_{a}^{b}e^y dy=e^y\mid_{a}^{b}$

— Deep North

Pour utiliser la symétrie pour obtenir la moyenne, vous devez savoir que

converge - c'est le cas dans ce cas, mais plus généralement vous ne pouvez pas le supposer. Par exemple, l'argument de symétrie dirait que la moyenne du Cauchy standard est 0, mais il n'en a pas.

\int_{0}^{\infty} x f (x) d x

$\int_0^\infty xf(x) dx$

— Glen_b -Reinstate Monica

Puisque vous voulez apprendre des méthodes de calcul des attentes et que vous souhaitez connaître des moyens simples, vous apprécierez d'utiliser la fonction de génération de moment (mgf)

ϕ (t) = E [e^{t X}] .

$\phi(t) = E[e^{tX}].$

La méthode fonctionne particulièrement bien lorsque la fonction de distribution ou sa densité sont données comme exponentielles elles-mêmes. Dans ce cas, vous n'avez pas besoin de faire d'intégration après avoir observé

t^{2} / 2 - {(x - t)}^{2} / 2 = t^{2} / 2 + (- x^{2} / 2 + t x - t^{2} / 2) = - x^{2} / 2 + t x,

$t^2/2 -\left(x - t\right)^2/2 = t^2/2 + (-x^2/2 + tx - t^2/2) = -x^2/2 + tx,$

parce que, l' écriture de la fonction de densité standard normale à comme (pour une constante $x$ $C e^{-x^2/2}$ $C$ dont la valeur que vous aurez pas besoin de savoir), cela permet vous de réécrire son mgf comme

ϕ (t) = C \int_{R} e^{t x} e^{- x^{2} / 2} d x = C \int_{R} e^{- x^{2} / 2 + t x} d x = e^{t^{2} / 2} C \int_{R} e^{- (x - t)^{2} / 2} d x .

$\phi(t) = C\int_\mathbb{R} e^{tx} e^{-x^2/2} dx = C\int_\mathbb{R} e^{-x^2/2 + tx} dx = e^{t^2/2}C\int_\mathbb{R} e^{-(x-t)^2/2} dx .$

Du côté de la main droite, après l' terme, vous reconnaîtrez l'intégrale de la probabilité totale d'une distribution normale avec une moyenne et la variance de l' unité, qui est donc $e^{t^2/2}$ $t$ $1$ . par conséquent

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} .

$\phi(t) = e^{t^2/2}.$

Parce que la densité normale devient si petite à de grandes valeurs si rapidement, il n'y a pas de problèmes de convergence quelle que soit la valeur de . est analytiquement reconnaissable à $t$ $\phi$ $0$ , ce qui signifie qu'il est égal à sa série MacLaurin

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} = 1 + (t^{2} / 2) + \frac{1}{2} {(t^{2} / 2)}^{2} + \dots + \frac{1}{k!} {(t^{2} / 2)}^{k} + \dots .

$\phi(t) = e^{t^2/2} = 1 + (t^2/2) + \frac{1}{2} \left(t^2/2\right)^2 + \cdots + \frac{1}{k!}\left(t^2/2\right)^k + \cdots.$

Cependant, comme converge absolument pour toutes les valeurs de , nous pouvons également écrire $e^{tX}$ $tX$

E [e^{t X}] = E [1 + t X + \frac{1}{2} (t X)^{2} + \dots + \frac{1}{n!} (t X)^{n} + \dots] = 1 + E [X] t + \frac{1}{2} E [X^{2}] t^{2} + \dots + \frac{1}{n!} E [X^{n}] t^{n} + \dots .

$E[e^{tX}] = E\left[1 + tX + \frac{1}{2}(tX)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}(tX)^n + \cdots\right] \\ = 1 + E[X]t + \frac{1}{2}E[X^2]t^2 + \cdots + \frac{1}{n!}E[X^n]t^n + \cdots.$

Deux séries de puissances convergentes ne peuvent être égales que si elles sont égales terme par terme, d'où (comparer les termes impliquant ) $t^{2k} = t^n$

\frac{1}{(2 k)!} E [X^{2 k}] t^{2 k} = \frac{1}{k!} (t^{2} / 2)^{k} = \frac{1}{2^{k} k!} t^{2 k},

$\frac{1}{(2k)!}E[X^{2k}]t^{2k} = \frac{1}{k!}(t^2/2)^k = \frac{1}{2^kk!} t^{2k},$

impliquant

E [X^{2 k}] = \frac{(2 k)!}{2^{k} k!}, k = 0, 1, 2, \dots

$E[X^{2k}] = \frac{(2k)!}{2^kk!},\ k = 0, 1, 2, \ldots$

$X$ $X$

$E[1/(1-tX)] = E[1 + tX + (tX)^2 + \cdots + (tX)^n + \cdots]$ $X$ $E[e^{itX}]$ ) sont si généralement utiles, cependant, que vous les trouverez dans des tableaux de propriétés de distribution, comme dans l'entrée Wikipedia sur la distribution normale .

— whuber
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