Distribution binomiale négative vs distribution binomiale

22

Quelle est la différence entre la distribution binomiale négative et la distribution binomiale?

J'ai essayé de lire en ligne et j'ai trouvé que la distribution binomiale négative est utilisée lorsque les points de données sont discrets, mais je pense que même la distribution binomiale peut être utilisée pour les points de données discrets.

— allié
source

5

Ils sont tous les deux discrets.

— Glen_b -Reinstate Monica

5

Illustration simple: vous vendez des bonbons de porte à porte. À chaque porte que vous cognez, vous avez une probabilité 1/4 de vendre 1 barre chocolatée et une probabilité 3/4 ou de vendre 0 barre chocolatée. Votre probabilité de vendre n barres si vous frappez à 50 portes est une distribution binomiale en n. Votre probabilité d'avoir à frapper à la porte m pour vendre 30 bars est une distribution binomiale négative en m. Notez que le premier coupe à 50 parce que vous ne pouvez pas vendre plus de 50 barres, tandis que le dernier a une queue à l'infini car vous pourriez avoir une chance terrible ce jour-là et ne jamais vendre la 30e barre.

— Jerry Guern

30

La différence est ce qui nous intéresse. Les deux distributions sont construites à partir d'essais de Bernoulli indépendants avec une probabilité de succès fixe, p .

Avec la distribution binomiale, la variable aléatoire X est le nombre de succès observés dans n essais. Comme il existe un nombre fixe d'essais, les valeurs possibles de X sont 0, 1, ..., n .

Avec la distribution binomiale négative, la variable aléatoire Y est le nombre d'essais jusqu'à ce que le r e succès soit observé. Dans ce cas, nous continuons d'augmenter le nombre d'essais jusqu'à atteindre r succès. Les valeurs possibles de Y sont r , r + 1 , r + 2 , ... sans limite supérieure. Le binôme négatif peut également être défini en termes de nombre d' échecs jusqu'au r e succès, au lieu du nombre d' essais jusqu'au r e succès. Wikipédia définit la distribution binomiale négative de cette manière.

Donc, pour résumer:

Binôme :

Nombre fixe d'essais ( n )
Probabilité de succès fixe ( p )
La variable aléatoire est X = nombre de succès.
Les valeurs possibles sont 0 ≤ X ≤ n

Binôme négatif :

Nombre fixe de succès ( r )
Probabilité de succès fixe ( p )
La variable aléatoire est Y = nombre d'essais jusqu'au r ième succès.
Les valeurs possibles sont r ≤ Y

Merci à Ben Bolker de m'avoir rappelé de mentionner le support des deux distributions. Il a répondu à une question connexe ici .

— Jelsema
source

4

plus de discussion sur NB ici: stats.stackexchange.com/questions/6728/… . Il convient de noter que les réponses binomiales sont bornées [0, N], les réponses NB ne sont pas limitées [0, ...]

— Ben Bolker

Bon point, j'ai mis à jour ma réponse pour l'inclure.

— Jelsema

merci jelsema pour la réponse détaillée, je pourrais mieux comprendre maintenant

— alily

19

La distribution binomiale négative, malgré une relation apparemment évidente avec le binôme, est en fait meilleure par rapport à la distribution de Poisson. Les trois sont discrets, au fait.

$\lambda$ $\lambda$

Si vos données suggèrent que la variance est supérieure à la moyenne (surdispersion), cela exclut Poisson, alors le binôme négatif serait une prochaine distribution à examiner. Il a plus d'un paramètre, donc sa variance peut être supérieure à la moyenne.

La relation entre NB et binôme vient du processus sous-jacent, comme il a été décrit dans la réponse de @ Jelsema. Les processus sont liés, donc les distributions le sont aussi, mais comme je l'ai expliqué ici, le lien avec la distribution de Poisson est plus étroit dans les applications pratiques.

MISE À JOUR: Un autre aspect est le paramétrage. La distribution binomiale a deux paramètres: p et n. Son domaine de bonne foi est compris entre 0 et n. En ce sens, il est non seulement discret, mais également défini sur un ensemble fini de nombres.

$\lambda$ $n$

— Aksakal
source

3

Je ne comprends pas ce que vous entendez par «mieux comparé à la distribution de Poisson». La question d'origine ne dit pas quel type de modélisation est souhaité. Cela n'implique même pas que l'on s'intéresse à la modélisation.

— heropup

@heropup, OP s'intéresse clairement aux applications et compare directement NB à Binomial. Par conséquent, ma réponse concerne cette comparaison, et cette comparaison avec Poisson est plus pertinente dans les applications typiques.

— Aksakal

7

Ils sont tous les deux discrets et représentent des nombres lorsque vous échantillonnez.

$D$ $N$ $S = ( DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN)$

$S = ( D,ND,NND,NNND,... )$

$p$

— Bahgat Nassour
source