Comment tester statistiquement si mon réseau (graphique) est un réseau «petit monde» ou non?

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Un réseau de petit monde est un type de graphe mathématique dans lequel la plupart des nœuds ne sont pas voisins les uns des autres, mais la plupart des nœuds peuvent être atteints les uns des autres par un petit nombre de sauts ou d'étapes. Plus précisément, un réseau de petit monde est défini comme un réseau où la distance typique L entre deux nœuds choisis au hasard (le nombre d'étapes nécessaires) croît proportionnellement au logarithme du nombre de nœuds N dans le réseau, c'est-à-dire

$L \approx \log (N)$ $L \approx \log(N)$

Cette relation entre L et N est une "règle générale". Je recherche une détermination plus professionnelle des graphes du petit monde pour mes recherches. Comment puis-je tester si mon graphique est un graphique de petit monde ou non?

L' expérience du petit monde comprenait plusieurs expériences menées par Stanley Milgram et d'autres chercheurs examinant la longueur moyenne du chemin pour les réseaux sociaux de personnes aux États-Unis. La recherche a été révolutionnaire en ce qu'elle a suggéré que la société humaine est un réseau de type petit monde caractérisé par de courtes longueurs de chemin. Les expériences sont souvent associées à l'expression "six degrés de séparation", bien que Milgram n'ait pas utilisé ce terme lui-même.

Merci d'avance.

hypothesis-testing graph-theory networks

— Übel Yildmar
source

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Je ne sais pas quel est le but de votre papar ou de vos antécédents. Avez-vous un graphique réel que vous souhaitez tester? Vous pouvez prendre des mesures descriptives de base de votre graphique, comme le ferait n'importe quelle bibliothèque de graphiques (par exemple, networkx en python ou igraph en R). Vérifiez simplement si votre réseau est connecté, quel est le diamètre, le chemin le plus court moyen, etc. Si vous générez le graphique ou si votre contexte est différent, je dirais que plus d'informations sont nécessaires pour répondre à votre question.

— lrnzcig

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Pour évaluer la présence de cette relation logarithmique, je pense qu'il faudrait une série de valeurs. Par exemple, une séquence d'instantanés de votre graphique évoluant dans le temps. Ou une collection de graphiques différents correspondant à des systèmes similaires (comparables) (par exemple, les réseaux informatiques de plusieurs entreprises de tailles différentes).

— Vincent Labatut

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TL; DR:

Tu ne peux pas.

Ce qui est généralement fait

L '«état de l'art» actuel pour déterminer si un réseau est un petit monde utilise l'approche suivante:

$L$ $C$
Générer un ensemble approprié de réseaux nul modèle, tels que Erdös-Rényi Les graphes aléatoires , ou Maslov-Sneppen graphes aléatoires .
$L_\text{r}$ $C_\text{r}$
Calculez le chemin le plus court normalisé . et . $λ := L/L_\text{r}$ $γ := C/C_\text{r}$
Si et remplissent certains critères (par exemple, et ), appelez le réseau un réseau de petit monde. $λ$ $γ$ $λ≈1$ $γ>1$

L'idée derrière cela est que:

Les réseaux du petit monde devraient avoir une certaine structure spatiale, ce qui se traduit par un coefficient de clustering élevé. En revanche, les réseaux aléatoires n'ont pas une telle structure et un faible coefficient de regroupement.
Les réseaux du petit monde sont efficaces dans la communication et similaires et ont donc une longueur de chemin la plus courte, comparable à celle des réseaux aléatoires. En revanche, les réseaux purement spatiaux ont une longueur de trajet la plus courte la plus élevée.

Où sont les problèmes

Cela ne dit rien sur la façon dont le chemin le plus court moyen évolue avec la taille du réseau. En fait, pour les réseaux réels, la définition entière que vous avez citée ne peut pas être appliquée, car il n’existe pas de réseau identique avec un nombre différent de nœuds.
Supposons que nous prenions une autre définition d'un petit monde qui ne soit pas directement basée sur les valeurs de et , par exemple: $λ$ $γ$

Un réseau de petite taille est un réseau spatial avec des connexions longue portée supplémentaires.

Ensuite, nous ne pouvons toujours pas faire des implications solides quant à savoir si une telle définition est remplie simplement en utilisant et (ou en fait d'autres mesures de réseau). L'interprétation de nombreuses études suppose que tous les réseaux sont une réalisation du modèle Watts – Strogatz pour une certaine probabilité de recâblage, ce qui n'est pas du tout justifié: nous connaissons de nombreux autres modèles de réseaux, dont les réalisations sont entièrement différentes du modèle Watts – Strogatz. $λ$ $γ$
La méthode ci-dessus n'est pas robuste aux erreurs de mesure. De petites erreurs lors de l'établissement d'un réseau à partir de mesures suffisent à faire, par exemple, un réseau ressembler à un réseau de petit monde, voir par exemple, Bialonski et al., Chaos (2010) et Papo et al., Front. Fredonner. Neurosci. (2016) . En fait, je ne connais pas une seule étude qui prétend qu'un réseau empirique n'est pas un réseau du petit monde.

Sidenote: Que gagneriez-vous?

Je ne suis au courant d'aucune information utile pouvant être tirée du fait qu'un réseau est un petit monde. L'affirmation selon laquelle un certain type de réseau est bien décrit par un certain modèle de réseau (par exemple, le modèle de Watts – Strogatz) peut être utile pour modéliser les études, mais cela va beaucoup plus loin que la simple prétention à la petitesse du monde.

^{Clause de non-responsabilité complète: l'un des articles ci-dessus provient de mon environnement universitaire direct.}

— Wrzlprmft
source

De plus, connaissez-vous un document où la méthodologie que vous avez mentionnée dans cette réponse est répertoriée. Création d'un ensemble de réseaux, calcul de sa moyenne, etc.

— The Last Word

@TheLastWord: De plus, connaissez-vous un article où la méthodologie que vous avez mentionnée dans cette réponse est répertoriée. - Le document de Bialonski et al résume cette approche et doit contenir des références pertinentes. Voir également mon article .

— Wrzlprmft

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Un Small-Worldness Index peut être calculé en "R" en utilisant la fonction smallworldness dans le package qgraph .

Ceci est basé sur: Humphries, MD, & Gurney, K. (2008). Réseau " small-world-ness": une méthode quantitative pour déterminer l'équivalence canonique de réseau . PLoS One, 3 (4), e0002051

Extrait du journal:

"Un réseau est désormais considéré comme un" petit monde "si S> 1 - une affirmation qui peut être testée statistiquement."

— Scott Button
source